Динамика твердого тела

Динамика твердого тела

Министерство образования и науки

Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Университет

имени Е.А.Букетова

Кафедра общей и теоретический физики

Курсовая работа

на тему:

Динамика твердого тела

Подготовил:

________________

________________

Проверил:

________________

________________

Караганды – 2003г.

Введение

o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось

вращения неподвижна)

. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения

. Центр удара

o II. Плоское движение твердого тела

. Кинетическая энергия при плоском движении

Заключение

Введение

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для

описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2

независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных

точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые

справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую

лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из

одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение -

траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело

бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

|[pic] |

|Рис. 3.1. |

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную

плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на

одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня

в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том,

что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее

момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс

(физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы

тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в

положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс,

находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).

|[pic] |

|Рис. 3.2. |

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и

"непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно

представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через

точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления

момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис.

3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко

к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую

"непослушную" катушку.

|[pic] |

|Рис. 3.3. |

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики,

сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра

масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента

внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения

твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс

|[pic] |(3.1) |

Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил,

приложенных к телу.

Уравнение моментов

|[pic] |(3.2) |

Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки,

[pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого

тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных

точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент

импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль

линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели

абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области

приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и

на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы

при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются

относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во

многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра

масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально

совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно

движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно

неподвижной - точки O' соотношением:

|[pic] |(3.3) |

где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное

соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

|[pic] |(3.4) |

где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

|[pic] |(3.5) |

Тогда

|[pic] |(3.6) |

Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ.

Учитывая (3.4), получим

|[pic] |(3.7) |

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то [pic]([pic] -

масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно

движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной

точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать

относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно

разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой

находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и

вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки

зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения

динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в

этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно

центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно

неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости

центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг

от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из

механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг

неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения

(3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося

твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных

случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского

движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и

закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

|[pic] |

Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть

проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой

точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно оси

вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил,

определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор

этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно

(рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу,

перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси.

|[pic] |

|Рис. 3.4. |

Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения),

то вместо [pic]можно записать

|[pic] |(3.8) |

или

|[pic] |(3.9) |

поскольку в случае твердого тела [pic]

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного

движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет

вид:

|[pic] |(3.10) |

Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это

составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса

относительно оси [pic]сохраняется. При этом сам вектор L, определенный

относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример

такого движения показан на рис. 3.5.

|[pic] |

|Рис. 3.5. |

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции

вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем

остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А

движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако

проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы

тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось

вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

|[pic] |(3.11) |

где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

|[pic] |(3.12) |

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы

элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии

тела:

|[pic] |(3.13) |

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна

|[pic] |(3.14) |

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью

[pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с

постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по

величине сила [pic]направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы

|[pic] |

где [pic]- радиус диска, [pic]- угол его поворота. Число оборотов,

которое сделает диск до полной остановки,

|[pic] |

где [pic]- момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что [pic]то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в

неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей

механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку,

Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной

с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в

пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная

ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо

приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис.

3.6.

|[pic] |

|Рис. 3.6. |

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный

стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными

штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать

испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения

вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень

раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В

стержня главной, но не центральной, [pic]Ось изгибается, со стороны оси на

стержень действует сила [pic]обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной

со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны

стержня на ось действует сила [pic]уравновешенная силами [pic]со стороны

подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и

является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно

центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось

сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень

действуют силы [pic]и [pic]момент которых обеспечивает приращение [pic](В

НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент

центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня).

Со стороны стержня на ось действуют силы [pic]и [pic]направленные

противоположно силам [pic]и [pic]Момент сил [pic]и [pic]уравновешен

моментом сил [pic]и [pic]возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной

центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный

сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие

оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они

будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым

возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают,

что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим

моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с

промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно

убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное

вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей

(рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB' - среднему, а ось

CC' - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое

тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC', можно

убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки

заставить тело вращаться вокруг оси BB' к успеху не приводят - тело

движется сложным образом, кувыркаясь в полете.

|[pic] |

|Рис. 3.7. |

В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая

наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к

быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна),

то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь

вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.

|[pic] |

|Рис. 3.8. |

Центр удара.

Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения,

испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При

этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в

какую точку тела нанесен удар.

Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на

горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO' (рис. 3.9). Если удар

(короткодействующая сила F ( нанесен близко к оси вращения, то ось

прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по

нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном

направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную

точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не

испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в

этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной А

вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью

вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются

силой F и происходят одновременно).

|[pic] |

|Рис. 3.9. |

Вычислим, на каком расстоянии [pic]от точки подвеса стержня находится

центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает

|[pic] |(3.15) |

Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает,

поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать

|[pic] |(3.16) |

где [pic]- масса тела, [pic]- скорость центра масс. Если [pic]-

расстояние от оси до центра масс тела, то

|[pic] |(3.17) |

и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс

находим

|[pic] |(3.18) |

При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром

качания данного физического маятника - точкой, где надо сосредоточить всю

массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же

период колебаний, как и данный физический.

В случае сплошного однородного стержня длиной [pic]имеем:

|[pic] |

Замечание. Полученное выражение для [pic](3.18) справедливо и для

произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка

подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось

вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих

через точку А.

Пример 1. При ударах палкой длиной [pic]по препятствию рука "не

чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится

в точку, расположенную на расстоянии [pic]свободного конца палки.

Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10)

шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в

точку, находящуюся на высоте

|[pic] |

от поверхности бильярда, то есть на [pic]выше центра шара. Если удар

будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении

движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным

столом будет проскальзывать назад.

|[pic] |

|Рис. 3.10. |

Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела

вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре

удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.

II. Плоское движение твердого тела.

Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в

плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому

достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в

котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на

поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена

неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость

вращательного движения оказывается одной и той же.

Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс,

то уравнениями движения твердого тела будут:

1. Уравнение движения центра масс

|[pic] |(3.19) |

2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс

|[pic] |(3.20) |

Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет

свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в

которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов

(3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра

масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид,

как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.

В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное

плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием

уравнений динамики твердого тела.

Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси,

проходящее через центр масс (рис. 3.11).

|[pic] |

|Рис. 3.11. |

Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:

|[pic] |

К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи

|[pic] |(3.23) |

Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без

проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.

Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и

сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для

проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с

осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле,

что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует

положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге

получим:

|[pic] |

откуда

|[pic] |(3.27) |

Следует подчеркнуть, что [pic]- сила трения сцепления - может принимать

любое значение в интервале от О до [pic](сила трения скольжения) в

зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но

обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной

плоскости. В данном случае

|[pic] |(3.28) |

Если цилиндр сплошной, то

|[pic] |(3.29) |

Качение без проскальзывания определяется условием

|[pic] |(3.30) |

где [pic]- коэффициент трения скольжения, [pic]- сила реакции опоры.

Это условие сводится к следующему:

|[pic] |(3.31) |

или

|[pic] |(3.32) |

Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно

неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью

вращения (рис. 3.12).

|[pic] |

|Рис. 3.12. |

Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и

плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении

движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов

относительно мгновенной оси имеет вид:

|[pic] |(3.33) |

Здесь

|[pic] |(3.34) |

В проекции на ось вращения (ось y)

|[pic] |(3.35) |

Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение

|[pic] |(3.36) |

Кинетическая энергия при плоском движении.

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму

кинетических энергий отдельных частиц:

|[pic] |(3.37) |

где [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- скорость i-й частицы

относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей

поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат,

получим:

|[pic] |(3.38) |

так как [pic](суммарный импульс частиц в системе центра масс равен

нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме

кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема

Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной

оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно

решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила

трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное

энергии:

|[pic] |(3.39) |

Здесь [pic]- длина наклонной плоскости, [pic]- момент инерции цилиндра

относительно мгновенной оси вращения.

Поскольку скорость оси цилиндра [pic]то

|[pic] |(3.40) |

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим

|[pic] |(3.41) |

откуда для линейного ускорения [pic]оси цилиндра будем иметь то же

выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его

кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.

Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой

поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным

углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его

ось.

Заключение

Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся

в сплошной среде.

В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии

динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются

синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около

продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого

эффекта.

Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по

динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы

введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей

компенсации вредного влияния ветра.

Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта

лаборатория навигации и управления.

Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс

механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для

проведения динамических испытаний моделей. Определены коэффициенты

демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного

удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в до- и сверхзвуковом

потоках.

На основе численного решения задачи о плоских движениях

аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной

пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены

области существования всех типов движения маятника, включая режимы

автоколебаний и авторотации. Открыта лаборатория сверхзвуковой

аэродинамики.

Также в институте компьютерных исследований проводят значимые

исследования по динамике твердого тела.

Это направление исследований института связано с анализом движения

твердого тела с широким применением компьютерных методов.

Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к

отдельной области науки - компьютерной динамике, которая устанавливает

общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов

и алгоритмов.

В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа,

теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется,

главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности,

динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить

достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его

многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его

особенности.

Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование

случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования,

которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении

высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой

области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых

интересных результатов.

Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием

методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли -

методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.