Концепция современного естествознания

(электромагнитные, гравитационные), не ограниченные средой,

т.е. не локализованные в ограниченной части пространства.

9. СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ, ЕЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ.

После введения понятия вещества и поля перейдем к

рассмотрению классических подходов в описании физических

явлений. В основе ряда теорий естествознания, в том числе

классической физики лежит представление о непрерывности

процессов или явлений. Изменение состояния любой системы

происходит плавно, непрерывно от одной точки к другой.

Простейшей формой движения материи является механическое

движение, под которым мы понимаем перемещение тел в

пространстве и времени. Наука, изучающая такой вид движения

материи, называется механикой. В естествознании для описания

систем вводятся модели. Простейшей моделью, на которой удобно

изучать механическое движение, является материальная точка,

т.е. тело, имеющее массу, но не имеющее геометрических

размеров. Материальная точка - это абстракция, модель; таких

тел в природе не существует.

Когда же реальную систему можно заменить точкой? Играют ли

при этом решающую роль ее размеры? Тело можно заменить

материальной точкой, если в рамках поставленной задачи можно

пренебречь его размерами и формой, т.е. если перемещение тела

много больше размеров самого тела. Одно и тоже тело в одних

условиях можно считать материальной точкой, а в других - нет.

Например, наша планета огромна по сравнению с размерами

человека, и если человек огибает земной шар, то его движение

можно представить как движение точки на огромном глобусе. В

свою очередь, размеры земной орбиты во столько же раз больше

размеров Земли, во сколько раз сама Земля больше человека. Так

что, и Землю можно считать материальной точкой при ее движении

вокруг Солнца.

Еще один пример. При измерении пройденного автомобилем

расстояния никому не придет в голову вопрос, до какой точки

автомобиля это расстояние мерить, однако, когда тот же

автомобиль заезжает в гараж необходимо следить, чтобы он

никакой своей частью ни за что не зацепился. В первом случае

автомобиль можно заменить материальной точкой, а во втором -

нельзя, т.к. обязательно нужно учитывать его форму и размеры.

Таким образом, допустимость модели материальной точки,

как, впрочем, и любой физической модели, определяется

условиями поставленной задачи и требуемой точностью искомого

результата.

Раздел механики, в котором описывается движение тела, и не

вскрываются причины, его вызывающие, называется кинематикой.

Для описания движение тела, необходимо ввести систему

отсчета, относительно которой задать его координаты, ввести

динамические переменные, описывающие изменение положения тела

во времени и ввести законы движения тела. Вообще говоря,

система отсчета должна в себя включать систему тела, которые

мы считаем неподвижными и часы. С системой неподвижных тел

необходимо связать систему координат, например декартовых.

Положение точки в координатном пространстве задается радиусом-

вектором r(t), т.е. вектором, проведенным из начала координат

в выбранную точку. Начальное положение тела задается радиусом-

вектором в начальной момент времени r0 = r(t0), как это

показано на рис.9.1. Положение точки в пространстве с течением

времени меняется, и конец радиуса-вектора вычерчивает линию,

которая называется траекторией движения.

Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки - dr, как это показано

на рисунке 9.2. Поскольку перемещение dr, бесконечно мало, оно лежит на

траектории движения. Время dt, за которое происходит это перемещение, тоже

бесконечно мало. Перемещение dr и время dt связаны друг с другом при помощи

динамического параметра - мгновенной скорости, определение которой:

((t)=dr(t)/dt (9.1).

Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки - dr, как это показано

на рисунке 9.2. Поскольку перемещение dr, бесконечно мало, оно лежит на

траектории движения. Время dt, за которое происходит это перемещение, тоже

бесконечно мало. Перемещение dr и время dt связаны друг с другом при помощи

динамического параметра - мгновенной скорости, определение которой:

((t)=dr(t)/dt (9.1).

dr

Dr

r(t0)= r0

r(t)

r(t)

O O

Рис.9.1 Рис. 9.2

Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки - dr,

как это показано на рисунке 9.2. Поскольку перемещение dr,

бесконечно мало, оно лежит на траектории движения. Время dt,

за которое происходит это перемещение, тоже бесконечно мало.

Перемещение dr и время dt связаны друг с другом при помощи

динамического параметра - мгновенной скорости, определение

которой:

((t)=dr(t)/dt (9.1).

Таким образом, dr = (dt, следовательно, направление

мгновенной скорости совпадает с направлением элементарного

перемещения dr. Иными словами, мгновенная скорость всегда

направлена по касательной к траектории. По правилу сложения

векторов сумма всех dr плюс r0 даст нам вектор r. Но, операция

суммирования по бесконечно малым величинам называется

интегрированием. Таким образом, проясняется наглядный смысл

интегрирования векторной функции и правило вычисления значения

r(t), в любой момент времени.

r(t)=r0+[pic]((t)dt

(9.2)

Скорость материальной точки, в свою очередь, тоже может

меняться со временем. Удобно ввести еще один динамический

параметр - ускорение, которое тоже является векторной

величиной и тоже может зависеть от времени и координат:

a(t)=d((t)/dt

(9.3).

Из этого определения следует, что d((t)=a(t)dt. Если

функция a(t) известна, то с ее помощью можно найти скорость

тела в любой момент времени, а зная ее, при помощи (9.2) можно

найти положение тела в любой момент времени.

((t)=(0+[pic]а(t)dt

(9.4),

r(t) = r0 +[pic]((0

+[pic]а(t)dt)dt или

r(t)=r0+(0(t-t)+[pic]а(t)dtdt

(9.5).

В этих формулах (0 - начальная скорость тела, т.е. его

скорость в момент времени t0.

Таким образом, если нам известны начальное положение

материальной точки - r0 и начальная скорость - (0, а также

зависимость вектора скорости или вектора ускорения от времени,

можно найти координаты системы в любой последующий момент

времени - r(t).

Только что мы рассмотрели и обозначили путь решения

основной задачи кинематики. При решении этой задачи не

ставился вопрос, за счет чего меняется ускорение тела, но в

рамках кинематики такой вопрос не ставится. Рассматривалось

положение тела в произвольные моменты времени.

В ряде случаев требуется найти не только положение тела,

но и тот путь, который оно пройдет. Пройденный путь есть

скалярная величина, она обозначается S и численно равна длине

траектории. Из рисунка очевидно, что путь в общем случае не

равен длине (модулю) вектора перемещения [pic]r. Чтобы найти

пройденный путь S необходимо просуммировать длины вектора dr,

т.е. провести интегрирование по модулю вектора dr:

[pic].

Здесь надо помнить, что модуль вектора, т.е. его длина

всегда положительна. При выполнении расчета по этой формуле

((t) всегда надо брать со знаком плюс.

В случае одномерного движения, когда тело перемещается

вдоль прямой, векторную функцию можно заменить ее проекцией на

выбранную ось. Проекции вектора на другие оси равны нулю,

поэтому можно не пользоваться понятием вектора.

10. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.

10.1. Основные положения механики Галилея.

Классическую механику будем рассматривать в контексте тех

принципов, которые использовались при ее становлении вплоть до

развития современной физики. Не надо думать, что развитие

современной физики перечеркнуло всю классическую механику и

заставило использовать при описании какие-то принципиально

новые положения. Классическая механика, в сформированном

Ньютоном виде, играет большую роль в современной науке и

технике. Достаточно сказать, что такая большая область

техники, как машиностроение, целиком базируется на законах

классической механики. При дальнейшем рассмотрении настоящего

раздела нас будет интересовать в основном следующие положения.

Классическая механика развилась как раздел науки (физики)

в котором рассматривалось механическое движение макросистем,

т.е. систем, размеры которых определяются окружающими нас

телами. Диапазон масс и размеров огромен. С одной стороны это

и атомы, из которых состоят вещества, и движение которых мы

можем с большой точностью описывать классическими понятиями. С

другой стороны это и такие большие образования, как планеты и

звезды.

Механическое движение рассматриваемых систем определяется

скоростью движения системы. Хотя скорость понятие

относительное, но всегда можно выбрать какую-то систему

отсчета, относительно которой мы и рассматриваем скорость.

Такой системой отсчета может быть и наша Земля, и наше Солнце,

и центр нашей галактики. Все эти системы отсчета движутся друг

относительно друга с небольшими, по сравнению с скоростью

света, скоростями. В настоящем разделе будут рассматриваться

движения, на скорость которых накладывается условие: (((с, где

с ( 3(108 м/с - скорость света в вакууме. Законы движения,

которые будут рассмотрены, справедливы с точностью порядка

(/с.

Существуют ограничения и на минимальную скорость. Из

школьного курса нам известно, что скорость движения атомов, из

которого состоит система определять его температуру. Основные

явления и эффекты, рассматриваются в классической механике при

температурах тел, далеких от абсолютного 0. Если масса системы

мала (например, исследуются отдельные атомы или молекулы), а

её температура стремится к абсолютному нулю, то наблюдаются

квантовые явления, не описываемые в рамках классической

физики.

Все теории, созданные до становления современной физики,

базировались на принципе, “Природа не терпит разрывов”.

Изменение состояния системы происходит не мгновенно, а плавно.

Все процессы и явления развиваются постепенно, плавно

переходя из одного состояния в другое. Именно это положение и

лежало в основе математического аппарата, разработанного

Ньютоном и Лейбницем - дифференциального и интегрального

исчислений.

Последнее замечание, которое необходимо сделать. В одном

из прошлых разделов рассматривались принципы дальнодействия и

близкодействия. На заре развития классической механики

подразумевалось, что взаимодействие тел происходит мгновенно.

Использовался принцип дальнодействия. В этом случае, коль

скоро взаимодействие передается мгновенно, в разных системах

отсчета можно было вводить одинаковое время. Например,

считалось, что всегда можно синхронизовать часы, находящиеся в

любой точке пространства (например, на Земле и в центре

Галактики) и считать, что время в разных точках пространства

ни от чего не зависит и одинаковое.

Прежде, чем перейти к дальнейшему рассмотрению, вспомним,

что такое сила. В механике силой называется мера воздействия

на выбранное материальное тело со стороны других тел. Это

действие вызывает изменение скоростей точек тела или его

деформацию. Воздействие может передаваться как при

непосредственном контакте (давление прижатых друг к другу тел,

трение и т.д.), так и посредством создаваемых телами полей

(гравитационные, электромагнитные силы). Сила - величина

векторная, в каждый момент времени она характеризуется

численным значением, направлением в пространстве и точкой

приложения. Сложение сил осуществляется по правилу сложения

векторов- правилу параллелограмма. Прямая, вдоль которой

направлена сила назовется линией действия силы. Обычно силу

обозначают F. В общем случае сила может зависеть от координат

и времени, т.е. F = F(x,y,z,t ).

Законы физики всегда базируются на опытах, экспериментах.

Именно в рамках такого подхода Галилей создал основы

классической механики. Обратимся к некоторым из опытов

Галилея. Напомним, что в основе механики Аристотеля,

доминировавшей в тот период, лежало утверждение, что скорость

тела пропорциональна приложенной силе: (~F. Этот вопрос мы уже

обсуждали и пришли к выводу, что кажущееся проявление действие

силы связано с наличием в природе сил трения. Именно Галилей

доказал неверность положения физики Аристотеля.

В Италии в городе Пизе, в котором проживал Галилей,

имеется высокая Пизанская башня. Она интересна тем, что стоит

не вертикально, как все здания, а сильно наклонена под углом

(рис.10.1). Галилей осуществил эксперимент в ходе которого он

определял время, необходимое для падения тел с вершины

Пизанской башни.

Попытаемся восстановить ход рассуждений Галилея во время его экспериментов.

Возьмем несколько шаров одинакового размера, изготовленных из разного

вещества: свинца, меди, чугуна, дерева. Все эти тела при одинаковых

размерах и форме имеют разный вес. Вес тела характеризует силу тяготения,

действующую на тело со стороны Земли. Сила тяготения, действующая на тело

равна его весу. Если справедливо утверждение Аристотеля, то разные тела с

разным весом должны обладать разными скоростями падения и, соответственно,

достигать поверхности земли при бросании с башни за разные промежутки

времени. Однако, эксперименты, проведенные с разными телами показали, что

они достигали поверхности земли за практически одинаковые промежутки

времени.

S

h

Рис.10.1 Рис.10.2

Вывод из этих опытов однозначен. Скорость тела не определяется приложенной

силой. Приложенной силой определяется какой-то другой динамический

параметр. Галилею потребовалось много лет и много усилий, чтобы выяснить,

что же это за параметр. В этой области наиболее известны его эксперименты с

движением шаров по наклонной плоскости. Схема его опытов приведена на

рис.10.2. Шары скатывались по наклонной плоскости, длина которой и высота

были заданы. В ходе опыта Галилей определял путь S , проходимый телом в

зависимости от времени t. Им был установлен закон, являющийся частным

случаем второго закона Ньютона. Путь, проходимый телом квадратично зависит

от времени: [pic], где константа [pic](сейчас она называется ускорением)

прямо пропорциональна высоте h и обратно пропорциональна длине пути S, т.е.

[pic]. Начальная скорость тела - (0 в его опытах могла меняться. Этот закон

сегодня можно легко вывести из 2-го закона Ньютона для равноускоренного

движения. В опытах Галилея ускорение определялось ускорением свободного

падения: [pic].

Анализируя проводимые эксперименты, Галилей пришел к выводу о существовании

закона инерции. Действительно, если устремить длину основание наклонной

плоскости к бесконечности, ускорение будет стремиться к нулю, значит, за

равные промежутки времени тело будет проходить равные отрезки пути и

скорость тела будет постоянной. Тело будет само по себе двигаться по

инерции.

Кроме экспериментов Галилей использовал умозрительные заключения. Он

рассмотрел поведение тел и живых существ внутри корабля. Их поведение не

зависит от того, стоит корабль у причала или двигается по спокойной воде с

постоянной скоростью. Анализ этой ситуации привел его к выводу, что если

корабль будет двигаться с постоянной скоростью, то находясь внутри корабля

невозможно определить, движется он или стоит.

10.2 Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея.

Галилей ввел понятие инерциальной системы отсчета, в которой тело сохраняет

состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не

действуют другие тела (силы). Напомним, что понятие системы отсчета

включает в себя систему координат и часы. Инерциальных систем отсчета

может быть бесконечное множество.

Принцип относительности Галилея заключается в том, что все физические

законы не меняются (инвариантны) в разных инерциальных системах отсчета.

Если быть более строгими, то принцип относительности Галилея заключался в

том, что все законы механики инвариантны ( т.е. не меняются) при

применении к ним преобразований Галилея.

Для перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую Галилей ввел

преобразования, которые теперь называют преобразованиями Галилея.

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть у нас имеется инерциальная система

отсчета, положение тел в которой задается декартовыми координатами.

Например, точка А на рис. 10.3.

Кроме системы координат XYZ (ее обычно обозначают К), может быть и другая

инерциальная система координат, например, X’Y’Z’ (назовем ее К’).

Инерциальная система координат К’ движется с постоянной скоростью u

относительно системы К. Пространство изотропное, в нем не существует

выделенного направления, поэтому удобно выбрать направление оси OX

совпадающим с направлением скорости u. Т.е. система К’ движется вдоль оси

OX системы отсчета К.

y’

y

v

О’ x’

z’ O x

z

x

Рис.10.3

Положение точки А в системе К задается вектором r(x,y,z) или его проекциями

на оси OX, OY и OZ, которые равны, соответственно, x, y и z. Положение той

же точки в системе К’ задаются координатами x’, y’ и z’. Связь между x, y,

z и x’, y’, z’ дается преобразованиями Галилея:

[pic]

Дополнительно к преобразованиям координат введено преобразование времени.

Одинаковость хода часов в разных инерциальных системах отсчета

соответствует концепции дальнодействия, рассмотренной выше.

Введем понятие инварианта и инвариантности. Инвариантность означает

независимость, неизменность относительно каких-либо физических условий. В

математике под инвариантностью понимается неизменность величины

относительно каких-либо преобразований. Рассмотрим, какие параметры не

меняются при преобразованиях Галилея, т.е. являются инвариантами этих

преобразований.

Первый из этих параметров - время. При переходе от одной инерциальной

системы отсчета к другой не меняется как само время t=t’, так и

длительность какого-либо события [pic]:

[pic].

Помимо времени, неизменным остается расстояние между двумя точками.

Обозначим расстояние между точками А и В через [pic] в системе K и [pic] в

системе K’. Координаты этих точек, соответственно, [pic] в системе K и

[pic] в системе К’. Расстояние между точками определяется их координатам по

теореме Пифагора:

[pic]

Продифференцируем по времени соотношения (10.1) и получим преобразования

Галилея для скоростей:

[pic]

Из этих формул видно, что при переходе от системы К к К’ изменится лишь

проекция скорости на ось OX, вдоль которой движется система К’, проекции

скорости на направления других осей сохранятся. Продифференцируем эти

выражения по времени еще раз и получим закон преобразования ускорений при

переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую:

[pic]

Из этих выражений видно, что все три проекции ускорения на оси координат

остаются неизменными при переходе из системы отсчета К в К’. Таким образом,

ускорение тоже является инвариантом преобразований Галилея.

Закон сохранения массы был сформулирован уже после Галилея и Ньютона. Но,

для полноты картины, добавим, что в классической механике масса тела не

зависит от выбора системы отсчета и также является инвариантом

преобразований Галилея.

10.3. Законы классической механики и их инвариантность относительно

преобразований Галилея.

Создание основ классической механики завершается трудами И.Ньютона,

сформулировавшего основные законы механики и открывшего закон всемирного

тяготения. Классическая механика Ньютона базировалась на работах Галилея,

Декарта, Паскаля, Гука и многих других.

Раздел механики, в котором изучаются причины движения тел, т.е. силы,

вызывающие их движение, называется динамикой. Основные законы механики,

сформулированные Ньютоном дошли почти без изменений до наших дней. Они

известны из школьного курса физики. Напомним их.

Первый закон Ньютона. Всякое тело в инерциальной системе отсчета сохраняет

состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие

со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Второй закон Ньютона. Ускорение тела прямо пропорционально сумме сил,

действующих на него и обратно пропорционально его массе. Запишем этот

закон в векторной форме с учетом кинематических соотношений

[pic]

В этих формулировках мы использовали понятие импульса или количества

движения P = m((, которое было введено Декартом. Закон Ньютона, записанный

в виде (10.6.а) или (10.6.б) с математической точки зрения имеет вид

дифференциального уравнения, т.е. уравнения в котором значение функции

связывается со значением ее производной. Любая из формулировок (10.6.а,б)

второго закона Ньютона называется основным уравнением динамики. Решение

этого уравнения является основной задачей динамики. Основная задача

динамики может быть поставлена в форме прямой и обратной задачи. В прямой

задаче требуется по известному закону движения тела r(t) найти действующие

на это тело силы. В обратной задаче по известной зависимости действующих

сил от времени (F(t) требуется найти закон движения тела r(t). Различные

формулировки (10.6) могут немного менять постановку основной задачи, как

прямой, так и обратной. Однако, прямая задача всегда математически сводится

к дифференцированию, а обратная - к интегрированию. Очевидно, что решение

обратной задачи динамики должно быть значительно более трудоемким, чем

прямой. Отметим также, что для решения обратной задачи требуется знать

начальные условия, которых в зависимости от постановки задачи (в форме

10.6.а или 10.6.б) должно быть задано либо столько же, сколько и степеней

свободы системы, либо вдвое больше.

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми взаимодействуют тела равны по

величине, противоположны по направления и направлены вдоль линии

взаимодействия. Этот закон утверждает, что силовое воздействие на тело

носит характер взаимодействия. Этот же закон утверждает, что взаимодействия

всех тел являются центральными.

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, иногда называют четвертым

законом Ньютона. Его открытие базируется на трудах выдающихся астрономов 16-

17-х веков Н.Коперника и И.Кеплера. И.Кеплер на основании учении Коперника

о гелиоцентрической системе мира сформулировал три закона движения планет.

Эти законы были правильными, но, как показал впоследствии И.Ньютон,

являлись частным случаем более общего закона всемирного тяготения. Законы

Кеплера позволяли найти орбиты планет, периоды их обращения вокруг солнца и

скорость движения планет по орбитам.

С позиций современной механики отметим, что второй закон Кеплера является

следствием закона сохранения момента импульса, он справедлив для движения

тела в поле любых центральных сил.

С использование введенного нами математического аппарата закон всемирного

тяготения можно написать в виде:

[pic], где G - гравитационная постоянная, m1 и m2 массы тел,

[pic] единичный вектор, направленный вдоль линии взаимодействия,

определяющий направление гравитационной силы [pic].

Тело, двигающееся прямолинейно и равномерно относительно системы отсчета К,

вследствие уравнений (10.4) движется также прямолинейно и равномерно

относительно системы отсчета К’. Это обозначает, что формулировка первого

закона Ньютона во всех инерциальных системах отсчета одинакова (правильнее

сказать, первый закон Ньютона справедлив во всех инерциальных системах

отсчета). Отметим, что, уравнения (10.4) позволяют по одной известной

инерциальной системе отсчета построить бесконечное множество других.

В системе координат К форма записи второго закона Ньютона определяется

уравнениями (10.6). Поскольку, ускорение и масса инвариантны относительно

преобразований Галилея, уравнение (10.6) одинаково записывается в различных

инерциальных системах отсчета.

Поскольку, величина силы не меняется при переходе от одной инерциальной

системы отсчета к другой, третий закон Ньютона тоже инвариантен

относительно преобразований Галилея.

Четвертый закон не нуждается в доказательстве инвариантности относительно

преобразований Галилея, поскольку расстояния, массы и силы не меняются при

переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Таким образом, все законы Ньютона инвариантны относительно преобразований

Галилея. Это значит, что они справедливы и записываются одинаковым образом

во всех инерциальных системах отсчета.

10.4. Детерминизм классической механики.

Под детерминизмом понимается философское учение об объективной

закономерности, взаимосвязи и причинной обусловленности всех явлений

материального и духовного мира. Центральным ядром детерминизма является

положение о причинности. Идея детерминизма состоит в том, что все явления

и события в мире не произвольны, а подчиняются объективным закономерностям,

независимо от наших знаний о природе явлений. Всякое следствие имеет свою

причину.

Как и все остальное в физике, понятие детерминизма менялось по мере

развития физики и всего естествознания. В 19-м веке теория Ньютона

окончательно оформилась и установилась. Существенный вклад в ее становление

внес П.С.Лаплас (1749 - 1827). Он был автором классических трудов по

небесной механике и теории вероятности. Он же разработал принцип

механического детерминизма, который сегодня носит его имя: детерминизм

Лапласа.

Согласно классическому механистическому детерминизму существует строго

однозначная связь между физическими величинами, характеризующими состояние

системы в какой-то момент времени (координаты и импульсы) и значениями этих

величин в любой последующий или предыдущий моменты времени.

Если говорить более простым языком, детерминизм по Лапласу означает, что мы

всегда однозначно можем описать поведение тела или любой сколь угодно

сложной системы, если знаем начальные координаты и скорости тела, а также

знаем законы движения и взаимодействия тел.

Этот принцип совершенно справедлив, если не выходить за рамки классической

механики. Действительно, решение основной обратной задачи динамики всегда

позволяет по известным силам (F(x,y,z,t), приложенным к телу найти закон

его движения r(x,y,z,t) и изменения скорости ((x,y,z,t). Полученные решения

всегда будут однозначными и точными. Сказанное обозначает, что движение

тела можно рассчитать сколь угодно далеко вперед. Тоже самое относится и к

системе тел. Рассмотренная задача позволила сделать Лапласу сформулировать

принцип механического детерминизма. Если известны начальные координаты и

скорости тел системы, а также законы взаимодействия тел, то можно

определить состояние системы в любой последующий момент времени. Примерами

практического воплощения этого принципа еще во времена Лапласа были

астрономические таблицы, очень точно описывавшие движения небесных тел на

многие годы вперед.

Отметим, что для успешного практического решения подобных задач законы

взаимодействия тел нужно знать очень точно, либо нужно смириться с тем, что

расчет будет адекватно описывать поведение системы лишь в ограниченном

временном интервале. Связано это с тем, что неточности расчета имеют

свойство накапливаться и искажать получающуюся картину, - чем дальше, тем

больше. Кроме того нужно иметь ввиду, что для решения задачи о движении

большого количества взаимодействующих тел нужно задать очень большое

количество начальных данных, законов взаимодействия и решать очень

громоздкую систему дифференциальных уравнений. Не следует думать, что дело

смогут спасти ЭВМ новых поколений; трудности, которые возникнут при решении

такой задачи, носят принципиальный характер. За все время существования

вселенной невозможно даже задать положения всех молекул воздуха,

находящихся в 1-м см3, не говоря уже о том, что решать эту систему

уравнений нужно быстрее, чем в режиме реального времени.

Заметим, однако, что сказанное выше не отменяет принцип детерминизма,

поскольку суть его в том, что состояние любой, даже самой сложной

механической системы, однозначно определяется начальными условиями и

законами взаимодействия. В природе успевают происходить такие движения,

которые экспериментатор не может успеть описать, но от этого его расчеты не

станут неправильными, они лишь могут стать неактуальными или ненужными.

С позиций сегодняшних знаний о природе можно утверждать, что

механистический детерминизм Лапласа не работает в микромере, где процессы

взаимодействия частиц по своей природе являются вероятностными. При

столкновении двух атомов один из них может возбудиться (перейти в

возбужденное состояние), а может и остаться в основном, невозбужденном

состоянии. В последнем случае атомы будут сталкиваться как идеально упругие

шары, в первом случае как неупругие шары. Результаты столкновения в этих

случаях будут сильно различаться, а решить, как будет происходить

взаимодействие, до того как оно произойдет, в принципе невозможно. В

микромире могут одновременно протекать процессы, которые абсолютно

несовместимы в макромире. Например, в опытах по дифракции электронов

удавалось одну и туже частицу заставить пролетать одновременно сквозь два

разнесенных друг от друга отверстия. Можно говорить лишь о вероятности

прохождения данного конкретного электрона через выбранное отверстие. Для

таких частиц оказывается неприменимым понятие траектории.

Когда описывается квантовая микросистема, предсказывается ее поведение в

рамках вероятностного описания, но не дается однозначного ответа, как

конкретно она будет себя вести. При этом всегда остаются в силе причинно-

следственные связи.

11. РАБОТА, ЭНЕРГИЯ.

Мы с вами уже обсуждали вопрос, что такое энергия и дали на него следующий

ответ. Энергия - это наиболее общая количественная мера движения и

взаимодействия материи. Закон сохранения энергии - один из наиболее точных

фундаментальных законов. Для изолированной системы энергия остается

постоянной, она может переходить из одной формы в другую, но ее количество

остается неизменным. Если система не изолирована, то энергия может

изменятся при одновременном изменении энергии окружающих тел на такую же

величину или за счет энергии взаимодействия тел внутри системы. При

переходе системы из одного состояния в другое ее энергия не зависит от

того, каким путем произошел этот переход. Энергия системы в общем случае

может переходить в другие формы материи. Несколько позднее, при анализе

законов общей теории относительности мы установим взаимосвязь энергии

массы. С учетом всего вышесказанного можно считать, что закон сохранения

энергии является в настоящее время самым точным фундаментальным законом,

отступлений от которого не обнаружено.

По сути дела, утверждается, что существует определенная величина,

называемая энергией, численное значение которой сохраняется при всех

обстоятельствах, и этот закон управляет всеми явлениями в природе.

Поскольку существует многообразие форм движения материи, существует и

многообразие видов энергий. Мы рассмотрим наиболее известные в физике виды

энергии: кинетическую, потенциальную и полную механическую энергию.

Определение этих видов энергии будет дано ниже. Сначала нужно дать

определение механической работы. Работа силы - это мера действия силы,

которая зависит от численной величины силы и ее направления, от перемещения

точки приложения силы. Если сила F постоянна по величине и направлению, а

перемещение происходит вдоль прямой, то работа равна произведению силы на

величину перемещения и косинус угла между направлением силы и перемещением

(см. рис. 11.1).

[pic],

Если 0(((900 то работа положительна, если 900(((1800 то работа

отрицательная. При (=900 механическая работа силы равна нулю, т.е. такая

сила работы при перемещении не совершает. Примером последней может служить

центростремительная сила при движении тела по окружности. Как видно из

определения, работа - величина скалярная. Единицей измерения работы в

системе единиц СИ является Джоуль (Дж). Один Джоуль - это работа силы в 1

Ньютон на участке пути в 1 метр. В общем случае для вычисления работы

dr da

F

S F

Рис.11.1 Рис.11.2

под действием переменной силы на криволинейном участке траектории вводят

элементарную работу (A (или dA). Считаем, что на бесконечно малом участке

пути dr сила не меняется и элементарная работа (A определяется как:

[pic], так как это показано на рис.11.2. Работа - величина аддитивная;

работа силы на конечном участке пути (1)((2) определяется как сумма

элементарных работ. Суммирование по бесконечно малым величинам (А есть

операция интегрирования:

[pic], где интегрирование ведется вдоль траектории. В векторном анализе

такой интеграл называется циркуляцией вектора силы. Заметим, что в этом

выражении легко перейти к другой переменной интегрирования, ко времени.

[pic]. Введенная здесь величина N называется мгновенной

механической мощностью или просто мощностью тела.

[pic].

Что будет происходить с системой (в простейшем случае -с материальной

точкой) при совершении работы над ней. Запишем элементарную работу и

выразим силу в нем при помощи второго закона Ньютона

[pic]

Слева стоит элементарная работа, а справа дифференциал некоторой функции

,имеющий размерность работы и зависящий от скорости: дифференциал функции

скорости, определяемой совершенной работой. Пусть в начальный момент

времени t0 скорость тела равнялась (0. Полную работу за промежуток времени

от t0 до t1 получим после интегрирования dA, как это сделано в формуле

(11.4). Совершаемая над телом работа привела к увеличению его скорости.

Теперь можно ввести понятие кинетической энергии:

[pic].

Кинетическая энергия определяется работой, которая совершена над телом.

Положительная работа приводит к увеличению скорости тела и к увеличению

кинетической энергии, отрицательная - к уменьшению того и другого. Если

система состоит из многих тел, то ее кинетическая энергия складывается из

кинетических энергий всех тел.

Кроме кинетической энергии есть еще потенциальная энергия, для которой не

существует общей формулы. Это понятие можно ввести лишь для ограниченного

класса сил - для консервативных сил. Это силы, работа которых по замкнутой

траектории равна нулю. Существует другое определение консервативных сил.

Консервативными силами называются такие силы, работа в поле которых не

зависит от траектории и определяется только начальным и конечным положением

системы. Нетрудно показать, что эти определения равнозначны. Действительно,

если работа не зависит от траектории, то при обратном движении вдоль

траектории она будет такая же, но с обратным знаком. Просуммировав движение

по замкнутой траектории, состоящей из двух кривых, получаем в сумме 0.

Консервативные силы, как правило, зависят только от положения тела, а

неконсервативные - от его скорости.

Рассмотрим примеры полей консервативных и неконсервативных сил. Силы трения

или сопротивления являются неконсервативными. Их направление определяется

скоростью перемещения тел. Силы трения всегда направлены в сторону,

противоположную направлению движения, т.е.: [pic]. Здесь [pic]- единичный

вектор, направленный вдоль скорости тела, а значит, по касательной вдоль

траектории его движения. Работа силы трения по замкнутой траектории ([pic])

равна:

[pic]. Здесь и в дальнейшем кружок у интеграла означает интегрирование по

замкнутой траектории. Последнее подынтегральное выражение скалярное, оно

всегда положительно, следовательно, работа силы трения на замкнутой

траектории [pic] всегда отрицательна. Эта работа тем больше по модулю, чем

длиннее путь. Вывод: силы трения - неконсервативные силы.

Заметим, что кроме сил трения движения, есть еще так называемые силы трения

покоя, которые, как это ясно из их названия, обеспечивают телу состояние

покоя. Поскольку движения тела не происходит, то и работы они не совершают.

Примером поля консервативных сил является поле тяготения вблизи поверхности

Земли. Работа, которая затрачивается на перемещение тела из положения r1 в

положение r2 равна: [pic]. Из этой формулы видно, что работа силы

тяжести зависит от величины этой силы и от разности начальной и конечной

высот тела. Никакой зависимости от формы траектории нет, а значит, сила

тяжести консервативна.

Также просто можно доказать, что консервативными являются силы, создающие

однородное поле. Поле сил называется однородным, если в любой точке этого

поля сила, действующая на тело одинакова по величине и направлению.

Консервативными являются также поля центральных сил. Центральными

называются силы, направленные вдоль линии взаимодействия тел, величина

которых зависит только от расстояния между телами. Такому условию

удовлетворяют, например, кулоновские силы и силы тяготения.

В поле консервативных сил можно ввести еще один вид механической энергии -

Страницы: 1, 2, 3