Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинетические Свойства

§ 6. КИНЕТИчЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию

внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на

примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы

— нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но

при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы

рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении

постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или

уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk(r) — локальную

концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго

говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых

распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется

обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному

аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция fk(r) может изменяться во

времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и

уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение

интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь tvk.

Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового

объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t

равно числу их в окрестности точки r – tvk в момент времени 0:

fk(r, t) = fk(r – tvk, 0).

(35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за

диффузии есть

(fk/(t]diff = – vk((fk/(r = – vk((fk.

(36)

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя,

согласно равенству

[pic]

(37)

Величину [pic] можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-

пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

[pic]

(38)

следовательно, под действием полей функция распределения меняется со

скоростью

[pic] (39)

(мы использовали здесь обозначение (fk/(k для градиента в k-пространстве

— оператора (k).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся

здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со

скоростью

(fk/(t]scatt = ?{ fk' (1 – fk) – fk (l – fk')}Q(k, k') dk'.

(40)

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению

fk. Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа носителей в

состоянии k, и от разности (1 – fk') — числа свободных мест в конечном

состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет

к увеличению функции fk; он пропорционален величине fk'(1 – fk). Очевидно,

надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений

k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'),

равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а

состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та

же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом

появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для

любого значения k полная скорость изменения функции fk(r) равна нулю, т. е.

(fk/(t]scatt + (fk/(t]field + (fk/(t]diff = 0.

(41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно

равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается

через f0k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов

температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не

слишком сильно отличается от равновесного.

Положим

gk = fk – f0k.

(42)

где

f0k = 1/{exp[(E k – ()/kT] + 1}

(43)

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить

функцию f0k в случае, когда температура зависит от координат? Будем

считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную

температуру T(r), и положим

gk(r)=fk(r) – f0k{3T(r)}.

(44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно

потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо

дополнительному условию, например

(gk(r)dk = 0.

(45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя

равенства (7.2) и (7.5), получаем

– vk((fk /(r – e /?(E + 1/c[vk ( H]) ((fk /(k = – (fk /(t]scatt ,

(46)

или

– vk((fk /(T (T – e /?(E + 1/c[vk ( H]) (( f0k /(k = – (fk /(t]scatt +

vk((gk /(r + e /?(E + 1/c[vk ( H]) ((gk /(k. (47)

С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

((f0 /(E)vk({( E (k) – () / T((T + e (E – 1/e((()} = – (fk /(t]scatt +

vk((gk /(r + e /?c[vk ( H] ((gk /(k. (48)

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E((gk /(k)

порядка E2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член

vk [vk ( H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное

поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы

получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки»

gk(r) к функции распределения. Функция gk(r) определяется интенсивностью

электрического поля и величиной градиента температуры, входящими

в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать

решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения

сложности.

§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной»

среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40)

получаем

(– (f0 /(E)vk(eE = – ((f0 /(t)]scatt = ((fk– fk()Q(k,k()dk(= ((gk–

gk()Q(k,k()dk( (49)

Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk.

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем

феноменологическое предположение:

– (fk /(t]scatt = gk/(

(50)

Тем самым мы вводим время релаксации (. При выключении поля любое

отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону

– (gk /(t = gk/(,

(51)

или

gk(t) = gk(0)e – t / ( .

(52)

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

gk = (– (f0 /(E) (vk(eE

(53)

Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

[pic] (54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

(f0kevk(r)dk ( 0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-

пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– (f0 /(E) ведет себя как (-функция от (E – (),

поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким

образом,

[pic] (55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J = ((E,

(56)

где ( – тензор. Получим

[pic] (57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор

электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В

случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное

выражение в (55) есть

(vk vk ( E) = v2xE,

(58)

что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому

[pic] (59)

где мы ввели длину свободного пробега

( = (v.

(60)

Это есть основная формула для электропроводности.

Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения fk,

заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk велика

только вблизи поверхности Ферми.

[pic]

Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение

Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk(eE>0, т. е. там, где

электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной

стороны.

Фактически по теореме Тейлора можно написать

[pic] (61)

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве

на величину (e(/?)E. Это несколько неверная интерпретация. В

действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине

сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения

электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются

примесью.

Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если

не считать возможной температурной зависимости (). Эта же формула

справедлива при T = 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую

границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение

жесткой поверхности Ферми.

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

fk = f0(Ek + e(vkE),

(62)

как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

(Ek = e(vkE.

(63)

Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы

место, если бы электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение

интервала времени (. Это замечание лежит в основе кинетического метода

решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках

между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости

(v в направлении поля; именно

(v((E/(v) = evE(,

(64)

или для классической частицы массы m

(v((E/(v) = evE( / mv.

(65)

Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

J = ne(v,

(66)

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

( = ne2(/m.

(7.33)

Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и

(59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно

лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств

электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую

электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой

группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не

высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно

придать небольшую дрейфовую скорость.

Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь

свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с

границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную

скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно

наблюдать в металлах типа Bi.

С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для

полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных

носителей заряда. Обычно пишут

( = n|е|( (68)

где

( = |e|(/m

(69)

есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны

и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности

равенством

( = nh |е| (h + ne |е| (e .

(70)

Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f°

классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время

релаксации ( может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его

среднее значение

[pic] (71)

где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,

(e= |e|(e /me

(7.38)

где те — эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и

для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от

температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время

релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от

энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение ( (EF).