Термодинамика

).

Упорядоченные структуры , которые рождаются вдали от равновесия , в

соответствии с критерием (2.6.) и есть диссипативные структуры .

Эволюция бифуркации и последующей самоорганизации обусловлено , таким

образом , соответствующими не равновесными ограничениями .

Эволюция переменных Х будет описываться системой уравнений

[pic] (2.7)

где функции F как угодно сложным образом могут зависить от самих

переменных Х и их пространственных производных координат r и времени t .

Кроме того , эти функции буду зависить от управляющих параметров , т.е. тех

изменяющихся характеристик , которые могут сильно изменить систему . На

первый взгляд кажется очевидным , что структура функции { F } будет сильно

определятся типом соответствующей рассматриваемой системы . Однако , можно

выделить некоторые основные универсальные черты , независящие от типа

систем.

Решение уравнения (2.7) , если нет внешних ограничений , должны

соответствовать равновесию при любом виде функции F . Поскольку равновесное

состояние стационарно , то

Fi ({Xрав},(рав ) = 0 (2.8)

В более общем случае для неравновесного состояния можно аналогично

написать условие

Fi ({X},() = 0 (2.9)

Эти условия налагают определенные ограничения универсального характера ,

например, законы эволюции системы должны быть такими , чтобы выполнялось

требование положительности температуры или химической концентрации,

получаемых как решения соответствующих уравнений.

Другой универсальной чертой является нелинейным . Пусть , например

некоторая единственная характеристика системы

удовлетворяет уравнению

[pic] [pic] (2.10)

где k - некоторый параметр , ( - внешние управляющие ограничения . Тогда

стационарное состояние определяется из следующего алгебраического уравнения

( - kX = 0 (2.11)

откуда

Xs = ( / k (2.12)

В стационарном состоянии , таким образом , значении характеристики ,

например , концентрации , линейно изменяется в зависимости от значений

управляющего ограничения ( , и имеется для каждого ( единственное состояние

Хs . Совершенно однозначно можно предсказать стационарное значение Х при

любом ( ,если иметь хотя бы два экспериментальных значения Х

(( ) .Управляющий параметр может , в частности , соответствовать степени

удаленности системы от равновесия . Поведение в этом случае системы очень

похожи на равновесии даже при наличии сильно неравновесных ограничений .

[pic]

Рис. 2.6. Иллюстрация универсальной черты нелинейности в самоорганизации

структур .

Если же стационарное значение характеристики Х не линейно зависит от

управляющего ограничения при некоторых значениях , то при одном и том же

значении имеется несколько различных решений . Например , при ограничениях

система имеет три стационарных решения , рисунок 2.6.в. Такое универсальное

отличие от линейного поведения наступает при достижении управляющим

параметром некоторого критического значения ( - проявляется бифуркация.

При этом в нелинейной области небольшое увеличение может привести к

неодекватно сильному эффекту - система может совершить скачок на устойчивую

ветвь при небольшом изменении вблизи критического значения ( , рисунок

2.6.в. Кроме того из состояний на ветви А1В могут происходить переходы

АВ1 ( или наоборот ) даже раньше , чем будут достигнуты состояния В или А

, если возмущения накладываемые на стационарное состояние , больше значение

, соответствующего промежуточной ветви А В . Возмущениями могут служить

либо внешнее воздействие либо внутренние флуктуации в самой системе . Таким

образом , системе с множественными стационарными состояниями присуще

универсально свойствам внутренне возбудимость и изменчивости скачкам .

Выполнение теоремы по минимально производстве энтропии в линейной

области , а, как обобщение этой теоремы , выполнение универсального

критерия (2.6.) и в линейной , и в нелинейной области гарантируют

устойчивость стационарных неравновесных состояний. В области линейности

необратимых процессов производство энтропии играет такую же роль , как

термодинамические потенциалы в равновесной термодинамике . В нелинейной

области величина dP / dt не имеет какого либо общего свойства , однако ,

величина dx P/dt удовлетворяет неравенству общего характера (2.6. ) ,

которая является обобщением теоремы о минимальном производстве энтропии .

2.3 ПРИМЕРЫ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ

СИСТЕМ.

Рассмотрим в качестве иллюстрации некоторые примеры самоорганизации

систем в физике , химии , биологии и социуме.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.

В принципе даже в термодинамическом равновесии можно указать примеры

самоорганизации , как результаты коллективного поведения . Это , например ,

все фазовые переходы в физических системах , такие как переход жидкость -

газ , ферромагнитный переход или возникновение сверхпроводимости . В

неравновесном состоянии можно назвать примеры высокой организации в

гидродинамике , в лазерах различных типов , в физике твердого тела -

осциллятор Ганна , туннельные диоды , рост кристаллов .

В открытых системах , меняя поток вещества и энергии из вне , можно

контролировать процессы и направлять эволюцию систем к состояниям , все

более далеким от равновесия . В ходе неравновесных процессов при некотором

критическом значении внешнего потока из неупорядоченных и хаотических

состояний за счет потери их устойчивости могут возникать упорядоченные

состояния , создаваться диссипативные структуры .

2.3.1а. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА.

Классическим примером возникновения структуры из полностью хаотической

фазы являются конвективные ячейки Бенара . В 1900 году была опубликована

статья Х.Бенара с фотографией структуры , по виду напоминавшей пчелиные

соты (рис. 2.7).

[pic]

Рис. 2.7. Ячейки Бенара :

а) - общий вид структуры

б) - отдельная ячейка.

Эта структура образовалась в ртути , налитой в плоский широкий сосуд ,

подогреваемый снизу , после того как температурный градиент превысил

некоторое критическое значение . Весь слой ртути (или другой вязкой

жидкости) распадался на одинаковые вертикальные шестигранные призмы с

определенным соотношением между стороной и высотой (ячейки Бенара). В

центральной области призмы жидкость поднимается , а вблизи вертикальных

граней - опускается . Возникает разность температур Т между нижней и

верхней поверхностью (Т = Т2 - Т1 ( 0 .Для малых до критических разностей

(Т ( (Тkp жидкость остается в покое , тепло снизу вверх передается путем

теплопроводности . При достижении температуры подогрева критического

значения Т2 = Тkp (соответственно (Т = (Тkp ) начинается конвекция . При

достижении критического значения параметра Т , рождается , таким образом ,

пространственная диссипативная структура . При равновесии температуры равны

Т2 =Т1 , (Т = 0 . При кратковременном подогреве (подводе тепла) нижней

плоскости , то есть при кратковременном внешнем возмущении температура

быстро станет однородной и равной ее первоначальному значению . Возмущение

затухает , а состояние - асимптотически устойчиво. При длительном , но до

критическом подогреве ( (Т ( (Тkp ) в системе снова установится простое и

единственное состояние , в котором происходит перенос к верхней поверхности

и передачи его во внешнюю среду (теплопроводность) , рис. 2.8 , участок а .

Отличие этого состояния от равновесного состояния состоит в том , что

температура , плотность , давление станут неоднородными . Они будут

приблизительно линейно изменяться от теплой области к холодной .

[pic]

Рис. 2.8. Поток тепла в тонком слое жидкости.

Увеличение разности температур (Т , то есть дальнейшее отклонение

системы от равновесия , приводит к тому , что состояние неподвижной

теплопроводящей жидкости становится неустойчивым участок б на рисунке

2.8. Это состояние сменяется устойчивым состоянием (участок в на рис.

2.8) , характеризующимся образованием ячеек . При больших разностях

температур покоящаяся жидкость не обеспечивает большой перенос тепла ,

жидкость (вынуждена( двигаться , причем кооперативным коллективным

согласованном образом.

Далее этот вопрос рассматривается в 3 главе.

2.3.1в. ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ

СИСТЕМА.

Итак , в качестве примера физической системы , упорядоченность которой

есть следствие внешнего воздействия , рассмотрим лазер.

При самом грубом описании лазер - это некая стеклянная трубка , в

которую поступает свет от некогерентного источника (обычной лампы) , а

выходит из нее узконаправленный когерентный световой пучок , при этом

выделяется некоторое количества тепла.

[pic]

При малой мощности накачки эти электромагнитные волны , которые

испускает лазер , некоррелированные , и излучение подобно излучению обычной

лампы. Такое некогерентное излучение - это шум , хаос. При повышении

внешнего воздействия в виде накачки до порогового критического значения

некогерентный шум преобразуется в (чистый тон( , то есть испускает число

синусоидальная волна - отдельные атомы ведут себя строго коррелированным

образом , самоорганизуются.

Лампа ( Лазер

Хаос ( Порядок

Шум ( Когерентное излучение

В сверхкритической области режим (обычной лампы( оказывается не

стабильным , а лазерный режим стабильным , рисунок 2.9.

[pic]

Рис. 2.9. Излучение лазера в до критической (а) и

сверхкритической (б) области.

Видно , что образование структуры в жидкости и в лазере формально

описывается весьма сходным образом . Аналогия связана с наличием тех же

самых типов бифуркаций в соответствующих динамических уровнях.

Подробнее этот вопрос рассмотрим в практической части , в 3 главе.

2. ХИМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ .

В этой области синергетика сосредотачивает свое внимание на тех явлениях

, которые сопровождаются образованием макроскопических структур . Обычно

если дать реагентам про взаимодействовать, интенсивно перемешивая

реакционную смесь, то конечный продукт получается однородный . Но в

некоторых реакциях могут возникать временные, пространственные или

смешанные ( пространственные - временные) структуры . Наиболее известным

примером может служить реакция Белоусова - Жаботинского .

2.3.2а. РЕАКЦИЯ БЕЛАУСОВА - ЖАБОТИНСКОГО.

Рассмотрим реакцию Белоусова -Жаботинского . В колбу сливают в

определенных пропорциях Ce2(SO4) , KBrO3 , CH2(COOH)2, H2SO4 , добавляют

несколько капель индикатора окисления - восстановления - ферроина и

перемешивают . Более конкретно - исследуются окислительно -

восстановительные реакции

Ce 3+_ _ _ Ce 4+ ; Ce 4+_ _ _ Ce 3+

в растворе сульфата церия , бромида калия , малоковой кислоты и серной

кислоты . Добавление феррогена позволяет следить за ходом реакции по

изменению цвета ( по спектральному поглащению ) . При высокой концентрации

реагирующих веществ , превышающих критическое значение сродства ,

наблюдаются необычные явления .

При составе

сульфат церия - 0,12 ммоль/л

бромида калия - 0,60 ммоль/л

малоковой кислоты - 48 ммоль/л

3-нормальная серная кислота ,

немного ферроина

При 60 С изменение концентрации ионов церия приобретает характер

релаксационных колебании - цвет раствора со временем периодически

изменяется от красного (при избытке Се3+ ) до синего ( при избытке Се 4+) ,

рисунок 2.10а .

[pic]

Рис. 2.10. Временные (а) и пространственные (б)

периодические структуры в реакции

Белоусова - Жаботинского.

...Такая система и эффект получили название химические часы . Если на

реакцию Белоусова - Жаботинского накладывать возмущение - концентрационный

или температурный импульс , то есть вводя несколько миллимолей бромата

калия или прикасаясь к колбе в течении нескольких секунд , то после

некоторого переходного режима будут снова совершаться колебания с такой же

амплитудой и периодом , что и до возмущения . Диссипативная

Белоусова - Жаботинского , таким образом , является ассимптотически

устойчивой . Рождение и существование незатухающих колебаний в такой

системе свидетельствует о том , что отдельные части системы действуют

согласованно с поддержанием определенных соотношений между фазами . При

составе

сульфата церия - 4,0 ммоль/л,

бромида калия - 0,35 ммоль/л,

малоковой кислоты - 1,20 моль/л,

серной кислоты - 1,50 моль/л,

немного ферроина

при 20 С в системе происходят периодические изменения цвета с периодом

около 4 минут . После нескольких таких колебаний спонтанно возникают

неоднородности концентрации и образуются на некоторое время ( 30 минут ) ,

если не подводить новые вещества , устойчивые пространственные структуры ,

рисунок 2.10б . Если непрерывно подводить реагенты и отводить конечные

продукты , то структура сохраняется неограниченно долго .

3. БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ .

Животный мир демонстрирует множество высокоупорядоченных структур и

великолепно функционирующих . Организм как целое непрерывно получает потоки

энергии ( солнечная энергия , например , у растений ) и веществ (

питательных ) и выделяет в окружающую среду отходы жизнедеятельности .

Живой организм - это система открытая . Живые системы при этом

функционируют определенно в дали от равновесия . В биологических системах ,

процессы самоорганизации позволяют биологическим системам

(трансформировать( энергию с молекулярного уровня на макроскопический .

Такие процессы , например , проявляются в мышечном сокращении , приводящим

к всевозможным движениям , в образовании заряда у электрических рыб , в

распознавании образов , речи и в других процессах в живых системах.

Сложнейшие биологические системы являются одним из главных объектов

исследования в синергетике . Возможность полного объяснения особенностей

биологических систем , например , их эволюции с помощью понятий открытых

термодинамических систем и синергетики в настоящее время окончательно

неясна . Однако можно указать несколько примеров явной связи между

понятийным и математическим аппаратом открытых систем и биологической

упорядоченностью.

Более конкретно биологические системы мы рассмотрим в 3 главе ,

посмотрим динамику популяций одного вида и систему (жертва - хищник( .

4. СОЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ .

Социальная система представляет собой определенное целостное

образование , где основными элементами являются люди , их нормы и связи .

Как целое система образует новое качество , которое не сводится к сумме

качеств ее элементов . В этом наблюдается некоторая аналогия с изменением

свойств при переходе от малого к очень большому числу частиц в

статической физике - переход от динамических к статическим закономерностям

. При этом весьма очевидно , что всякие аналогии с физико - химическими и

биологическими системами весьма условны , поэтому проводить аналогию между

человеком и молекулой или даже нечто подобное было бы не допустимым

заблуждением . Однако , понятийный и математический аппарат нелинейной

неравновесной термодинамики и синергетики оказываются полезными в описании

и анализе элементов самоорганизации в человеческом обществе.

Социальная самоорганизация - одно из проявлений спонтанных или

вынужденных процессов в обществе , направленная на упорядочение жизни

социальной системы , на большее саморегулирование. Социальная система

является системой открытой способная , даже вынужденная обмениватся с

внешним миром информацией , веществом , энергией. Социальная

самоорганизация возникает как результат целеноправленных индивидуальных

действий ее составляющих.

Рассмотрим самоорганизацию в социальной системы напримере урбанизации

зоны . Проводя анализ урбанизации географических зон можно предположить ,

что рост локальной заселенности данной территории будет обусловлен наличием

в этой зоне рабочих мест . Однако , здесь существует некоторая зависимость

: состояние рынка , определяющего потребность в товарах и услугах и

занятости . Отсюда возникает механизм нелинейной обратной связи в процессе

роста плотности населения. Такая задача решается на основе логистического

уравнения , где зона характеризуется ростом ее производительности N ,

новых экономических функций S - функция в локальной области i города.

Логистическое уравнение описывает эволюцию численности населения и может

быть тогда представлена в виде

dni

. = Кni(N + ( Rk Sik - ni) - dni ( 2.13 )

dt k

где Rk вес данной к - ой функции , ее значимость . Экономическая

функция изменяется с ростом численности : определяется спросом на к - й

продукт в i - й области в зависимости от увеличения численности населения

и конкуренции предприятий в других зонах города . Появление новой

экономической функции играет роль социально экономической флуктуации и

нарушает равномерное распределение плотности населения. Такие численные

расчеты по логистическим уравнениям могут быть полезны прогнозировании

многих проблем.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

В рассмотренных примерах в литературе имеются лишь общие выводы и

заключения , не приведены конкретные аналитические расчеты или численные .

Целью настоящей дипломной работы является аналитические и численные

исследования самоорганизации различных систем .

ГЛАВА 3

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.

3.1. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА .

Для того , чтобы экспериментально изучить структуры , достаточно иметь

сковороду , немного масла и какой ни будь мелкий порошок , чтобы было

заметно движение жидкости . Нальем в сковороду масло с размешанным в нем

порошком и будем подогревать ее снизу (рис. 3.1)

[pic]

Рис. 3.1. Конвективные ячейки Бенара.

Если дно сковороды плоское и нагреваем мы ее равномерно , то можно

считать , что у дна и на поверхности поддерживаются постоянные температуры

, снизу - Т1 , сверху - Т2 . Пока разность температуры (Т = Т1 - Т2

невелика , частички порошка неподвижны , а следовательно , неподвижна и

жидкость .

Будем плавно увеличивать температуру Т1 . С ростом разности температур

до значения (Тc наблюдается все та же картина , но когда (Т ( (Тc , вся

среда разбивается на правильные шестигранные ячейки (см. Рис. 3.1) в центре

каждой из которых жидкость движется вверх , по кроям вниз . Если взять

другую сковороду , то можно убедиться , что величина возникающих ячеек

практически не зависит от ее формы и размеров . Этот замечательный опыт

впервые был проделан Бенаром в начале нашего века , а сами ячейки получили

название ячеек Бенара .

Элементарное качественное объяснения причины движения жидкости

заключается в следующем . Из-за теплового расширения жидкость расслаивается

, и в более нижнем слое плотность жидкости (1 меньше , чем в верхнем (2

. Возникает инверсный градиент плотности , направленный противоположно силе

тяжести . Если выделить элементарный объем V , который немного смещается

вверх в следствии возмущения , то в соседнем слое архимедова сила станет

больше силы тяжести , так как (2 ( (1 . В верхней части малый объем ,

смещаясь вниз , поподает в облость пониженной плотности , и архимедова сила

будет меньше силы тяжести FA < FT , возникает нисходящее движение

жидкости . Направление движения нисходящего и восходящего потоков в данной

ячейке случайно , движение же потоков в соседних ячейках , после выбора

направлений в данной ячейке детерминировано . Полный поток энтропии через

границы системы отрицателен , то есть система отдает энтропию , причем в

стационарном состоянии отдает столько , сколько энтропии производится

внутри системы (за счет потерь на трение).

dSe q q T1 - T2

. = ( - ( = q ( ((( < 0 (3.1)

dt T2 T1 T1 ( T2

Образование именно сотовой ячеистой структуры объясняется минимальными

затратами энергии в системе на создание именно такой формы пространственной

структуры . При этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх , а

на ее периферии - вниз.

Дальнейшее сверхкритическое нагревание жидкости приводит к разрушению

пространственной структуры - возникает хаотический турбулентный режим.

[pic]

Рис. 3.2. Иллюстрация возникновения тепловой

конвекции в жидкости .

К этому вопросу прикладывается наглядная иллюстрация возникновения

тепловой конвекции в жидкости .

2 ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА.

Во второй главе этот вопрос мы уже рассматривали . Здесь же , рассмотрим

простую модель лазера .

Лазер - это устройство , в котором в процессе стимулированного излучения

порождаются фотоны .

Изменение со временем числа фотонов n , или другими словами , скорость

порождения фотонов , определяется уравнением вида :

dn / dt = «Прирост» - «Потери» (3.2)

Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением . Он

пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов N .

Таким образом :

Прирост = G N n (3.3)

Здесь G - коэффициент усиления , который может быть получен из

микроскопической теории . Член , описывающий потери , обусловлен уходом

фотонов через торцы лазера . Единственное допущение , которое мы принимаем

, - это то , что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов .

Следовательно ,

Потери = 2(n (3.4)

2( = 1/ t0 , где t0 - время жизни фотона в лазере .

Теперь следует учесть одно важное обстоятельство , которое делает (2.1)

нелинейным уравнением вида :

[pic] (3.5)

Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов . Это

уменьшение (N пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов ,

поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное

состояние .

(N = (n (3.6)

Таким образом , число возбужденных атомов равно

N = N0 - (N (3.7)

где N0 - число возбужденных атомов , поддерживаемое внешней

накачкой , в отсутствии лазерной генерации.

Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2) , получаем основное уравнение нашей

упрощенной лазерной модели :

[pic] (3.8)

где постоянная k дает выражение :

k1 = (G

k = 2( - GN0 (( 0 (3.9)

Если число возбужденных атомов N0 (создаваемых накачкой) невелико , то

k положительно , в то время как при достаточно больших N0 k - может

стать отрицательным . Изменение знака происходит когда

GN0 = 2( (3.10)

Это условие есть условие порога лазерной генерации .

Из теории бифуркации следует , что при k > 0 лазерной генерации нет ,

в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны.

Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .

Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически :

- это уравнение одномодового лазера .

Запишем уравнение (3.8) в следующем виде :

[pic]

Разделим исходное уравнение на n2 .

[pic]

и введем новую функцию Z :

1/n = n-1 = Z ( Z1 = - n-2 следовательно уравнение примет вид :

[pic]

перепишем его в следующем виде :

[pic]

разделим обе части данного уравнения на -1 , получим

[pic] (3.11)

Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли , поэтому сделаем следующую

замену Z = U(V , где U и V неизвестные пока функции n , тогда

Z1 = U1 V + U V1 .

Уравнение (3.11) , после замены переменных , принимает вид

U1 V + UV1 - k UV = k1

преобразуем , получим

U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12)

Решим уравнение (3.12)

V1 - k V = 0 ( dV/dt = k V

сделаем разделение переменных dV/V =k dt ( ln V = k t

результат V = ekt (3.13)

Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :

U1 ekt = k1

- это то же самое , что dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt

выразим отсюда U , получим

[pic] (3.14)

По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения

(3.13) и (3.14) в эту замену , получим

[pic]

Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно

[pic] (3.15)

Начальное условие n0=1/(c-k1/k) , из этого условия мы можем

определить константу с следующим образом

[pic]

Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим

[pic] (3.16)

Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 .

При k(0 ; ekt ( 0 ; (ekt - 1)(0 , то есть (ekt - 1)(k1/k(0((

(неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя .

Эту неопределенность вида 0(( следует привести к виду [pic] . При

этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений

рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :

[pic]

n(k)при k(0 ( 0 , следовательно [pic]

Перепишем (3.16) в следующем виде

[pic]

Линеаризуем нелинейное уравнение , получим

[pic]

[pic]ln n = - kt + c ( [pic]

Построим график для этих условий

[pic]

Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере :

кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации

кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог

кривая 3 : k > 0 , режим лампы.

При k = 0 уравнение (3.8) примет вид

[pic]

решая его , получим

[pic]

[pic] (3.8)

При условии [pic] ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к

стационарному состоянию , не зависимо от начального значения n0 , но в

зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3).

Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение

[pic]

3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ .

О распространении и численности видов была собрана обширная информация .

Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число

особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если

различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается

межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина : выживает наиболее

приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшую аналогию ,

существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ). Если

имеются однотипные пищевые ресурсы , то становится возможным

сосуществование видов . Численность видов может быть подвержена временным

колебаниям.

ОДИН ВИД.

Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней n . При наличии

пищевых ресурсов А особи размножаются со скоростью :

[pic]

и гибнут со скоростью :

[pic]

Здесь k и d - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в

общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы

количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы

так :

[pic]

Введем обозначение ( = kA - d

Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный

рост (при kA > d), либо экспериментальную гибель (при kA < d) популяции.

[pic]

Рис. 3.4 Кривая 1: Экспоненциальный рост ; (>0 , kA>d

Кривая 2: Экспоненциальная гибель ; (>0 , kA>d.

[pic]

В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость

потребления пищи

[pic]

Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со

скоростью :

[pic]

Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного

количества органического вещества

A + n = N = const ,

N - способность среды обитания поддерживать популяцию.

Тогда с учетом A = N - n получится следующее уравнение эволюции

популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :

[pic] (3.17)

Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом

[pic] , обозначим kN - d = k1

Получим :

[pic]

Воспользуемся [pic]табличным интегралом , [pic] ,полученное уравнение

примет вид :

[pic][pic]

решим это уравнение , преобразуя

[pic]

[pic]

сократим полученное выражение на k , и перенесем переменную k1 в правую

часть , получим

[pic]

отсюда n(t) ( [pic]

[pic]

Начальные условия :

[pic]

откуда

[pic]

Подставляя с в решение , получим уравнение в следующем виде

[pic]

ранее мы обозначали , что [pic] , подставляем и преобразуем

[pic]

сократим на k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение

уравнения (3.17)

[pic]

Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения - это

решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором

конечном стационарном уровне:

[pic]

то есть параметр n1 указывает высоту плато насыщения , к которому

стремится n(t) с течением времени .

Параметр n0 указывает начальное значение численности одного вида

популяции : n0 = n(t0) . Действительно , [pic] ,то есть n1 - предельная

численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр n1

характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец ,

параметр (kN - d) задает крутизну начального роста .

Отметим , что при малой исходной численности n0 (начальное число

особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным

[pic]

Рис. 3.5. Логистическая кривая.

(эволюция популяции одного вида)

Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической

кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция

перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным .

Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система

самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4 Кривая 1)

сменяется кривой с насыщением .

Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют

понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной

термодинамики.

Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в

рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах

, новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами k,N и d)

. В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной

устойчивости : новые виды могут либо исчезнуть , либо вытеснить

первоначальных обитателей . Пользуясь линейным анализом устойчивости , не

трудно показать , что новые виды вытесняют старые только в том случае ,

если

[pic]

Последовательность , в которой виды заполняют экологическую нишу ,

представлена на рисунке 3.6.

[pic]

Рис. 3.6. Последовательное заполнение экологической

ниши различными видами .

Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о

том , что «выживает наиболее приспособленный» , в рамках задачи о

заполнении заданной экологической ниши .

2. СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».

Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник»

(например , зайцы и лисицы) , то эволюция системы и ее самоорганизация

выглядят иначе , чем в предыдущем случае.

Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики

(К) , и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и Л .

Проведем теперь рассуждение , которое позволит нам объяснить

существование диссипативных структур .

Кролики (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас травы постоянен

и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы и кроликов способствуют

неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно символически

изобразить так :

Кролики + Трава ( Больше кроликов

К + Т ( 2К

Тот факт , что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы ,

вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками

Бенара . Вскоре процесс , в целом , будет выглядеть как диссипативный (во

многом аналогично процессу Бенара ).

Реакция « Кролики - Трава » происходит спонтанно в направлении

увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго

начала термодинамики .

Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики , прокрались хищные

лисицы (Л), для которых кролики являются добычей . Подобно тому , как по

мере поедания травы кроликов становится больше , за счет поедания кроликов

возрастает число лисиц :

Лисицы + Кролики ( Больше лисиц

Л + К ( 2Л

В свою очередь лисицы , как и кролики являются жертвами - на этот раз

человека , точнее говоря происходит процесс

Лисицы ( Меха

Конечный продукт - Меха , не играет непосредственной роли в дальнейшем

ходе процесса . Этот конечный продукт можно , однако , рассматривать как

носитель энергии, выводимой из системы , к которой она была в начале

подведена (например, в виде травы ).

Таким образом , в экологической системе также существует поток энергии -

аналогично тому , как это имеет место в химической пробирке или

биологической клетке .

Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические

колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании

численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые

сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же

резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности

кроликов и так далее (рис. 3.7).

[pic]

Рис. 3.7. Изменение численности популяций кроликов и лисиц

со временем. Наличие периодичности означает

возникновение экологической структуры.

С течением времени численность обеих популяций меняется в соответствии с

последовательным прохождением точек графика . Через некоторое время

(конкретное значение зависит от быстроты поедания лисицами кроликов , а так

же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинается вновь.

Поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же

различных способностях избегать истребления можно изучить количественно с

помощью программы : ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).

Эта программа реализует решение уравнений для диссипативной структуры

«кролики - лисицы». Результат решения изображается графически . Решается

система дифференциальных уравнений

[pic]

Здесь буквы К, Л, Т - означают соответственно количество кроликов ,

лисиц , травы ; коэффициенты k1, k2, k3 - обозначают соответственно

скорость рождения кроликов , скорость поедания кроликов лисицами и скорость

гибели лисиц.

В программе понадобится уточнить значение отношений (примерно равное 1),

постоянное количество травы (так же принимаемое обычно равным 1), начальные

значения популяции кроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла

(типичное значение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).

Программа популяции - это график. Он показывает поведение популяций при

различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать

истребление.

Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические

колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании

численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые

сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же

резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности

кроликов и так далее, то есть видно , что система самоорганизуется.

Программа прилагается.

[pic]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Мы видели , что необратимость времени тесно связана с неустойчивостями в

открытых системах . И.Р. Пригожин определяет два времени . Одно -

динамическое , позволяющее задать описание движения точки в классической

механике или изменение волновой функции в квантовой механике . Другое время

- новое внутренние время , которое существует только для неустойчивых

динамических систем . Оно характеризует состояние системы , связанное с

энтропией .

Процессы биологического или общественного развития не имеют конечного

состояния . Эти процессы неограниченны . Здесь , с одной стороны , как мы

видели , нет какого-либо противоречия со вторым началом термодинамики , а с

другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса) в

открытой системе. Развитие связано , вообще говоря , с углублением

неравновесности , а значит , в принципе с усовершенствованием структуры .

Однако с усложнением структуры возрастает число и глубина неустойчивостей ,

вероятность бифуркации .

Успехи решения многих задач позволили выделить в них общие

закономерности , ввести новые понятия и на этой основе сформулировать новую

систему взглядов - синергетику . Она изучает вопросы самоорганизации и

поэтому должна давать картину развития и принципы самоорганизации сложных

систем , чтобы применять их в управлении . Эта задача имеет огромное

значение , и , по нашему мнению , успехи в ее исследовании будут означать

продвижение в решении глобальных задач : проблемы управляемого

термоядерного синтеза , экологических проблем , задач управления и других .

Мы понимаем , что все приведенные в работе примеры относятся к модельным

задачам , и многим профессионалам , работающим в соответствующих областях

науки , они могут показаться слишком простыми . В одном они правы :

использование идей и представлений синергетики не должно подменять

глубокого анализа конкретной ситуации . Выяснить , каким может быть путь от

модельных задач и общих принципов к реальной проблеме - дело специалистов.

Кратко можно сказать так : если в изучаемой системе можно выделить один

самый важный процесс (или небольшое их число) , то проанализировать его

поможет синергетика . Она указывает направление , в котором нужно двигаться

. И , по-видимому , это уже много.

Исследование большинства реальных нелинейных задач было невозможно без

вычислительного эксперимента , без построения приближенных и качественных

моделей изучаемых процессов (синергетика играет важную роль в их создании).

Оба подхода дополняют друг друга . Эффективность применения одного зачастую

определяется успешным использованием другого . Поэтому будущее синергетики

тесно связано с развитием и широким использованием вычислительного

эксперимента .

Изученные в последние годы простейшие нелинейные среды обладают сложными

и интересными свойствами . Структуры в таких средах могут развиваться

независимо и быть локализованы, могут размножаться и взаимодействовать .

Эти модели могут оказаться полезными при изучении широкого круга явлений .

Известно , что имеется некоторая разобщенность естественно научной и

гуманитарной культур . Сближение , а в дальнейшем , возможно ,

гармоническое взаимообогащение этих культур может быть осуществлено на

фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамики открытых систем

и синергетики .

[pic]

[pic]

ЛИТЕРАТУРА :

1. Базаров И.П. Термодинамика. - М.: Высшая школа, 1991 г.

Гленсдорф П. , Пригожин И. Термодинамическая теория структуры ,

устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1973 г.

Карери Д. Порядок и беспорядок в структуре материи. - М.: Мир, 1995 г.

Курдюшов С.П. , Малинецкий Г.Г. Синергетика - теория самоорганизации. Идеи

, методы перспективы. - М.: Знание, 1983 г.

Николис Г. , Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.:

Мир, 1979 г.

Николис Г. , Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990 г.

Перовский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: МГУ,

1980 г.

Попов Д.Е. Междисциплинарные связи и синергетика. - КГПУ, 1996 г.

Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.:

Иностранная литература , 1960 г.

Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985 г.

Синергетика , сборник статей. - М.: Мир, 1984 г.

Хакен Г. Синергетика . - М.: Мир , 1980 г.

Хакен Г. Синергетика . Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся

системах и устройствах . - М.: Мир , 1985 г.

Шелепин Л.А. В дали от равновесия. - М.: Знание, 1987 г.

Эйген М. , Шустер П. Гиперцикл . Принципы самоорганизации макромолекул . -

М.: Мир , 1982 г.

Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. - М.: Мир , 1987 г

[pic]

Страницы: 1, 2