- вероятность того, что отказ изделия будет устранён на интервале времени при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до t.

Пусть ; тогда

;

Таким образом: ; (*)

или:

Из (*) имеем ;

или ;

;

вероятность выполнения ремонта в заданное время.

При получаем экспоненциальный закон ремонтопригодности

Определим среднее время восстановления :

;

Это интеграл можно вычислить по частям

u = t; ;

du = dt; ;

;

-дисперсия времени восстановления

В случае экспоненциального закона ремонтопригодности имеем:

; .

1.12 Экспериментальная оценка надёжности изделий

Для решения теоретических и практических задач надёжности необходимо знать законы распределения исходных случайных величин. При оценке надёжности изделий может решаться задача определения по данным эксплуатации или специальных испытаний среднего времени безотказной работы , среднего времени восстановления .

Рассмотрим случайную величину Т - время безотказной работы. При эксплуатации или испытаниях изделий в течении определённого времени случайная величина Т может принять n различных значений. Совокупность этих значений случайной величины Т называется статистической выборкой объёма n. Эта выборка может использоваться для статистической оценки закона распределения случайной величины Т.

Приведём пример статистической выборки для 10 однотипных изделий.

При большом числе n удобнее перейти от статистической выборки к статистическому ряду. Определяем диапазон значений случайной величины Т.

где , - максимальное и минимальное значение случайной величины Т.

Этот диапозон R разбивается на интервалы длины

;

где K- количество интервалов. Целесообразно выбирать число интервалов порядка 10 - 20. Обозначим через количество значений случайной величины Т, попавших в интервал i - й длины . Полагаем ; i = 1, 2,…..,K.

Определим частоту попадания в i - й интервал

Определяем статистическую плотность вероятности времени безотказной работы Т

Результаты сведём в таблицу:

Наглядное представление о законе распределения случайной величины Т дают статистические графики. Из них самые распространённые: полигон, гистограмма, статистическая функция распределения.

Полигон строится следующим образом: на оси абцисс откладываются интервалы , i = 1, 2, …..k , в серединах интервалов строятся ординаты, равные частотам и концы ординат соединяются.

Построение гистограммы: над каждым интервалом , i = 1, 2, …..k строится прямоугольник, площадь которого равна частоте в этом интервале.

Построение статистической функции распределения случайной величины Т. Над каждым интервалом проводится горизонтальная линия на уровне ординаты, равной величине накопленной частоты.

Второй способ построения статистической функции распределения случайной величины Т:

где - частота выполнения события .

где - число опытов, при которых

Статистическая плотность вероятности и статистическая функция распределения случайной величины Т представляют статистический закон распределения случайной величины Т.

1.13 Выравнивание статистического закона распределения случайной величины Т

На практике число опытов n ограничено, и статистический закон распределения является каким-то приближением к теоретическому (истинному) закону распределения случайной величины Т. Стремятся подобрать такую теоретическую кривую, которая бы отражала существенные черты статистического закона распределения и не отражала бы случайностей из-за малого количества данных. Вид закона распределения подбирают из существа задачи, либо по внешнему виду статистического закона распределения.

Будем аппроксимировать статистический закон распределения случайной величины Т экспоненциальным законом распределения f(t).

Для экспоненциального закона распределения имеем

;

Нужно определить параметры выбранного закона распределения. Выбранный экспоненциальный закон распределения зависит от одного параметра . Оценку параметра обозначим через . Оценку мы определяем из результатов опытов.

Используем для определения метод моментов; приравниваем теоретические и статистические моменты данного закона распределения. Имеем

Здесь - первый теоретический момент. По результатам опытов определяем статистический первый момент . Имеем

;

где -время безотказной работы i - го изделия; n - число опытов или число изделий, поставленных на испытания. Приравниваем эти моменты

или

откуда

Пример 2: из результатов опытов определим i =1, 2, …., k.

Будем аппроксимировать статистический закон распределения случайной величины Т нормальным законом распределения f(t) вида

Нужно определить параметры выбранного закона распределения. Выбранный нормальный закон распределения зависит от двух параметров и . Определим оценки и этих параметров из результатов опытов. Используем для определения и метод моментов. Теоретические моменты закона распределения случайной величины Т:

начальные моменты порядка S определяются соотношением

; S = 1, 2,……;

центральные моменты порядка S определяются формулой

; S = 1, 2, …….

Здесь .

Определим и ( - начальный момент 1 - го порядка; - центральный момент 2 - го порядка). Имеем:

;

Таким образом ;

;

По результатам опытов определяем статистические моменты и .

Имеем: ;

Приравниваем и , и ; Имеем

= , = ;

или , .

Следовательно ;

Для оценки степени расхождения статистического закона распределения с теоретическим законом распределения выбираем меру расхождения, по величине которой можно судить о том, вызвано ли расхождение случайными причинами, или разница между распределениями настолько велика, что выбранный теоретический закон распределения непригоден.

Обозначим меру расхождения через , которая может быть выбрана различными способами.

, где - статистическая функция распределения случайной Т ; q(t) - функция распределения случайной величины Т.

Например:

;

где частота попадания случайной величины Т в интервал , i = 1, 2, …., K;

- вероятность попадания случайной величины Т в интервал , i = 1, 2, …..K.

Чем меньше , тем лучше согласуется статистический закон распределения с теоретическим законом распределения.

Выдвигаем гипотезу H о том, что выбранный нами закон распределения случайной величины Т не противоречит статистическому закону распределения. На основании имеющегося статистического материала следует проверить эту гипотезу H. Широко используются два критерия проверки гипотезы H: критерий Пирсона и критерий Колмогорова.

1.14 Критерий Пирсона

Разбиваем полученные в опытах значения Т на k интервалов:

k - число интервалов. Выдвигаем гипотезу H о том, что выбранная теоретическая плотность вероятности случайной величины Т есть функция f(t).

В качестве величины выбираем величину , определяемую по формуле

;

где n - число опытов (число отказов);

- частота попадания случайной величины Т в интервал ;

- количество значений случайной величины Т, попавших в интервал ;

- вероятность попадания случайной величины Т в интервал ;

; ; i = 1, 2, …., K; ;

- это случайная величина.

Можно доказать, что если верна гипотеза Н, то при распределение величины независимо от вида функции f(t) стремится к распределению с числом степеней свободы

; где K - число интервалов, r - число параметров функции f(t), оцениваемых по результатам опытов, по результатам статистической выборки объёма n.

Т.о. при

;

Пусть - такое число, что можно считать практически невозможным осуществление события с такой вероятностью .

Если то .

маловероятное событие для гипотезы Н.

Т.о, в этом случае гипотеза Н отклоняется, т.е выбранная теоретическая плотность вероятности не согласуется с результатами опытов.

Область Область

- область принятия гипотезы Н (выбранная теоретическая плотность вероятности согласуется с результатами опытов).

- область отклонения гипотезы Н.

, n - порядка сотен.

1.15 Критерий Колмогорова

Критерий Пирсона можно применять как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Критерий Колмогорова применяется только для непрерывных случайных величин.

При использовании критерия Колмогорова сравниваются статистическая функция распределения случайной величины Т и выбранная теоретическая функция распределения q(t). Предполагается, что значения параметров функции q(t) известны.

Если параметры теоретической функции распределения q(t) неизвестны, то вместо параметров могут использоваться оценки этих параметров, полученные по результатам опытов, т.е. по статистической выборке. В этом случае принимают .

Определяем

Определяем величину

;

- случайная величина.

Выдвигаем гипотезу Н о том, что выбранная нами теоретическая функция распределения не противоречит статистической функции распределения .

Колмогоров доказал следующую теорему.

Если верна гипотеза Н, то при независимо от вида функции q(t) случайная величина имеет функцию распределения вида

;

тогда

Методика проверки гипотезы Н по критерию Колмогорова:

1) определяем статистическую функцию распределения ;

2) определяем ;

3) для заданного определяем по таблице распределения Колмогорова.

Если , то проверяемая гипотеза Н отклоняется, т.е. выбранная теоретическая функция распределения q(t) не согласуется (противоречит) статистической функции распределения .

Если < , то проверяемая гипотеза Н принимается, т.е. теоретическая функция распределения q(t) не противоречит функции распрделения .

Область Область

- область принятия гипотезы Н,

- область отклонения гипотезы Н.

1.16 Законы распределения отказов и их основные характеристики

Рассмотрим законы распределения случайной величины Т, где Т - время безотказной работы изделия до первого отказа (время наработки на отказ).

1.16.1 Экспоненциальный закон надёжности

При экспоненциальном законе распределения времени безотказной Т интенсивность отказов является постоянной, т.е.

Выпишем формулы по которым определяются количественные характеристики надёжности.

Экспоненциальный закон надёжности справедлив для описания внезапных отказов, когда изделие не успевает ещё износиться, т.е. не стареет.

Для экспоненциального закона вероятность безотказной работы на каком-то интервале времени не зависит от прошедшего времени, а зависит от .

Здесь - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени при условии, что на интервале времени (0, t) изделие работало безотказно.

1.16.2 Нормальный закон распределения

Он характеризует вероятность отказа при длительном изменении характеристик изделия (старение, износ). Нормальный закон распределения характеризует распределение времени безотказной работы изделия при возникновении отказов из-за износа и старения.

Плотность распределения времени безотказной работы Т изделия равна:

где , - параметры закона распределения.

- среднее значение случайной величины Т;

- дисперсия случайной величины Т;

Имеем

; ; ;

Для нормального закона распределения q(t) примет вид

Введём новую переменную:

; ; .

Если , то .

Следовательно

Введём в рассмотрение нормированную функцию Лапласа

, ,

Свойства функции Лапласа

Запишем q(t) в виде

;

; .

Определим вероятность безотказной работы изделия в интервале времени

Определим интенсивность отказов . Имеем

Определим - время безотказной работы изделия на интервале времени при условии, что на интервале времени изделие работало безотказно. Имеем

;

1.16.3 Закон распределения Вейбулла

Для распределения Вейбулла плотность распределения времени безотказной работы Т изделия имеет вид

;

здесь а и k - параметры закона распределения Вейбулла.

Определим q(t). Имеем

Введём новую переменную x вида

;

Определим P(t). Имеем

;

Определим . Получим

Определим среднее время безотказной работы. Имеем

Введём новую переменную u вида

;

если t = 0, то u = 0.

если t = ¥ , то u = ¥.

- гамма - функция

Определим дисперсию времени безотказной работы Т.

Имеем

Введём новую переменную u вида

если t = 0, то u = 0. ;

если t = ¥ , то u = ¥.

Известно следующее соотношение для гамма - функции.

Следовательно .

Тогда

Рассмотрим случай, когда k = 1; a = .

В этом случае имеем .

Т.е. в этом случае имеем экспоненциальный закон надёжности.

Пусть k = 2. В этом случае имеем закон Рэлея. Закон Вейбулла лучше описывает время безотказной работы изделия, чем экспоненциальный закон, т.к. в этом случае имеется два параметра: a и k. Пусть k = 2; Тогда имеем ;

- закон распределения Рэлея.

;

1.17 Виды соединения элементов в систему

1) Последовательное соединение.

2) Паралельное соединение.

1.17.1 Последовательное соединение элементов в систему

Соединение элементов называется последовательным, если отказ, хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединённых элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все её элементы.

Рассчитаем надёжность системы при последовательном соединении элементов в систему. Рассчитать надёжность системы - это значит по заданным количественным характеристикам надёжности элементов определить количественные характеристики надёжности системы.

Рассмотрим события , i = 1, 2, ……….,n.

Событие означает безотказную работу элемента i за время t.

Считаем, что события независимые, т.е. вероятность события P() не зависит от события , j ¹ i.

В этом случае элементы системы называются независимыми в смысле надёжности.

Рассмотрим событие А.

Событие А означает безотказную работу системы из n последовательно соединённых элементов за время t.

Событие А имеет место, если одновременно выполняются события , i = 1, 2, ……….,n. Следовательно событие А равно произведению событий , т.е.

….

Из теории вероятностей известно, что в этом случае

……...

Обозначим - вероятность безотказной работы системы за время t.

- вероятность безотказной работы i - го элемента за время t.

Откуда ……….

Т.о., вероятность безотказной работы системы за время t равна произведению вероятностей безотказной работы за время t элементов системы.

В частном случае, когда все элементы системы одинаковы, имеем

Выразим вероятность безотказной работы элементов через их интенсивность отказов

. Имеем

; i = 1, 2, …, n

Запишем формулы для определения вероятности безотказной работы системы . Имеем

или

где

Здесь - интенсивность отказов системы.

Т.о., при последовательном соединении элементов их интенсивность отказов складывается, и интенсивность отказов системы есть сумма интенсивностей отказов элементов системы.

Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t) равна

или

Интенсивность отказов системы

Среднее время безотказной работы системы

В случае экспоненциального закона надёжности всех элементов имеем:

;

; ;

;

Т.о. закон распределения времени безотказной работы системы является экспоненциальным.

Определим среднее время безотказной работы системы. Имеем

;

1.17.2 Параллельное соединение элементов в систему

1 Здесь отказ всего соединения элементов наступает только тогда, когда отказывают все входящие в соединения элементы.

Рассмотрим события , j = 1, 2, ……. m .

2 Событие означает отказ элемента j. Считаем, что события …….. - независимые, т.е. вероятность появления события P() j не зависит от события , i ¹ j. В этом смысле элементы соединения называются независимыми в смысле надёжности.

Рассмотрим событие В.

m Событие В означает отказ всех входящих в соединение элементов. Событие В имеет место, если одновременно выполняются события , j = 1, 2,………, m. Следовательно, событие В равно произведению событий , т.е.

Из теории вероятностей известно, что в этом случае

Обозначим

- вероятность отказа системы;

- вероятность отказа j - го элемента.

Откуда

или

Т.о., вероятность отказа системы паралельно соединённых элементов равна произведению вероятностей отказов всех элементов этого соединения.

Вероятность безотказной работы системы

или

1.18 Классификация методов резервирования

Резервирование - это способ повышения надёжности системы путём введения в систему избыточных элементов.

Систему с избыточными элементами называют резервированной.

По способу включения в систему резервных элементов различают постоянное резервирование и резервирование замещением.

1.18.1 Схема постоянного резервирования

Э0 При постоянном резервировании резервные элементы соединены параллельно с основными элементами в течении всего времени работы и находятся в одинаковых условиях Э1 работы с основными элементами.

Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах элементов не происходит, отказавший элемент не отключается.

Эm Плюсы постоянного резервирования - простота, отсутствие перерывов в работе, возможных при других способах резервирования.

Недостатки постоянного резервирования - повышенный расход ресурса резервных элементов, так как резервные элементы находятся в рабочем нагруженном режиме.

При резервировании замещениием отключается основной элемент и включается резервный элемент. Эта операция может выполняться автоматически или вручную.

1.18.2 Схема резервирования замещением

В зависимости от использования резервных элементов до Э0 момента их включения в работу различают три типа режимов резервирования:

1) Режим нагруженного (горячего) резерва;

2) Режим облегченного (тёплого) резерва;

3) Режим ненагруженного (холодного) резерва;

Режим нагруженного (горячего) резерва.

В этом случае резервные элементы находяться в том же режиме, что и основной элемент. Надёжность резервного элемента совпадает с надёжностью основного элемента.

Режим облегченного (тёплого) резерва.

В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их включения в работу. Надёжность резервного элемента в этом случае выше надёжности основного элемента.

Режим ненагруженного (холодного) резерва.

В этом случае резервные элементы находяться в выключенном состоянии до момента их включения в работу вместо основного элемента.

Заметим, что при способе постоянного резервирования резервные элементы находятся только в режиме нагруженного резерва. При резервировании замещением резервные элементы могут находиться в любом из трёх режимов.

Резервирование замещением требует дополнительных устройств для контроля состояния элементов, выключения отказавших элементов и включения резервных элементов.

Эта группа устройств называется переключателями.

Переключатели обладают некоторой ненадёжностью. Поэтому при оценке надёжности системы надо учитывать это факт.

Резервирование называется общим, если резервируется вся система.

1.18.3 Схема общего резервирования

Резервирование называется раздельным (поэлементным), если резервируются отдельно элементы системы.

1.18.4 Схема раздельного резервирования

1.19 Расчёт надёжности системы с постоянным резервированием

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,…..,m соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течении всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается.

Определим вероятность отказа системы.

Вероятность безотказной работы системы.

Будем называть элементы системы равнонадёжными, если

j = 0, 1, ……, m

Страницы: 1, 2, 3