Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

 (6).

 Линейным преобразованием независимого переменного

эта функция приводится с точностью до постоянного множителя  к весовой функции многочленов Чебышева – Эрмита, которая имеет вид

.

 Поскольку умножение весовой функции на постоянную практически не изменяет ортогональные многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичных нижеследующих формулах, не нарушая общности, можно полагать . В данном случае ортогональные многочлены с весом (6)  выражаются через ортогональные многочлены Чебышева – Эрмита  по формуле

.

В этом случае условие ортогональности запишется в виде:

        если

Полиномы Чебышева - Лагерра.

Пусть теперь многочлен (2) имеет один корень. Тогда уравнение (1) представимо в виде

.

Тогда его решение запишется в виде

.

Многочлены, ортогональные с таким весом, можно рассматривать как обобщение многочленов Чебышева – Лагерра, ортогональных с весом

.

 Причем и здесь можно выразить эти многочлены через многочлены Чебышева – Лагерра , а условие ортогональности будет:

       если

Полиномы Якоби.

Предположим, что многочлен (2) имеет два различных действительных нуля. Тогда , и уравнение Пирсона (1) представимо в виде

,

где  и  - некоторые постоянные и . Тогда решение уравнения (1)

 представимо в виде

 и определяет некоторую систему ортогональных многочленов, которая линейным преобразованием независимого переменного и умножением на постоянную сводится к системе многочленов Якоби . Так как весовая функция многочленов Якоби имеет вид

.

И соответственно условие ортогональности будет иметь вид:

    если

Многочлены Чебышева I рода являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция, относительно которой ортогональны эти многочлены, имеет вид:

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров .

Многочлены Чебышева II рода так же являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Чебышева II рода имеет вид

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров .

Следует так же отметить, что многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Лежандра

 и есть частный случай весовой функции многочленов Якоби при .

Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.

В этой главе рассматриваются примеры нахождения кривых распределения по методу кривых Пирсона с использованием теоретических исследований, рассмотренных в первой и второй главах дипломной работы. Было написано программное обеспечение, с помощью которого были получены и проинтерпретированы численные результаты.

§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей.

Рассмотрение примеров заключалось в том, что было рассмотрено пятьдесят случайных выборок, а далее были рассмотрены примеры выборок с заданным законом распределения. Согласно рассмотренному ниже алгоритму были произведены соответствующие вычисления, и по каждой выборке была построена кривая распределения вероятностей. При проведении испытаний было получено, что кривая распределения сорока семи из пятидесяти рассмотренных выборок есть кривая Пирсона первого типа, которая определяется следующей формулой:

.

Здесь нужно отметить разнообразие кривых Пирсона, делающее их применение очень гибким. Это означает, что кривые распределения вероятностей первого типа при различных значениях параметров  и  могут иметь различную форму.

Ниже рассмотрено несколько примеров наиболее часто встретившихся форм кривой распределения I типа.

Пример 1.

Рассмотрим выборку:

Следовательно, кривая распределения вероятностей будет определена на промежутке  и будет иметь вид:

                                                              1

                                                   0                             

                                                                                                                 Рис.1

Из чего следует, что если параметры кривой распределения первого

 типа будут находиться в пределах , то мы будем получать форму кривой распределения, изображенную на рис.1.

Из пятидесяти рассмотренных выборок двадцать четыре имеют такую форму кривой распределения вероятностей.

Пример 2.

Рассмотрим другую выборку:

Кривая распределения вероятностей имеет в этом случае форму, показанную на рис. 2.

                                                        1

                                                            0                                   

                                                                                              Рис.2

В этом случае параметры кривой распределения будут: . И если параметры кривой распределения другой выборки будут удовлетворять этим неравенствам, то форма кривой распределения этой выборки будет похожа на рис. 2.

Этот случай встретился нам семь раз из пятидесяти.

Пример 3

Кривая распределения вероятностей имеет вид:

                                 1

                                0                                            

                                                                                    Рис. 3

Такой будет форма кривой распределения вероятностей, если параметры . Эта форма кривой встречается шестнадцать раз из пятидесяти.

§2. Алгоритм вычислений.

		Вывод результатов: параметры кривой распределения вероятностей

Заключение.

В дипломной работе были рассмотрены вопросы нахождения распределения вероятностей по заданным выборочным значениям случайной величины. В первой главе было рассмотрено решение дифференциального уравнения Пирсона, проклассифицированы с помощью æ критерия Пирсона, найдены типы кривых распределения вероятностей и параметры, соответствующие каждому типу.

Во второй главе был рассмотрен подход Чебышева к получению систем ортогональных полиномов, которые обладают свойством метода наименьших квадратов. Было рассмотрено применение способа Чебышева для нахождения кривой распределения вероятностей по обобщенному методу Грамма – Шарлье.

В третьей главе описывается алгоритмическое обеспечение нахождения кривых распределения вероятностей по методу Пирсона.

Результаты дипломной работы могут представлять большое значение для решения многих практических задач, так как часто возникает необходимость по экспериментальным данным оценить распределение вероятностей измеренной случайной величины.

Литература.

1.  Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1999

2.  Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948

3.  Митропольский А.К. Техника статистических распределений. М.: издательство “Наука”, 1971

4.  Немчинов В.С. Полиномы Чебышева и математическая статистика. М.: издание Московской ордена Ленина сельскохозяйственной академии имени К.А. Тимирязева, 1946

5.  Романовский В. И. Математическая статистика. Издательство Академии Наук УзССР, 1961

6.  Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: издательство “Наука”, 1976

7.  Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

8.  Хотимский В. И. Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева). М.: Государственное статистическое издательство, 1959