Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

8.Какие функции называются элементарными?

ТЕМА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ

Комплексные числа. Операции с комплексными числами. Представление в прямоугольной системе координат. Многочлены. Корни многочленов с действительными коэффициентами.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (а,b) : z = (a,b) (термин «упорядоченная» означает, что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и b: (a,b)≠(b,a) ). При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Re z, а второе число b называется мнимой частью z: b = Im z.

Два комплексных числа z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) равны тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть a1 = a2, b1 = b2.

Действия над комплексными числами.

1.Суммой комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1 + a2 , b = b1 + b2 .

Свойства сложения:

а) z1 + z2 = z2 + z1;

б) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3;

в) существует комплексное число 0 = (0,0): z + 0 = z для любого комплексного числа z.

1.  Произведением комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1a2 – b1b2 , b = a1b2 + a2b1 .

Свойства умножения:

а) z1z2 = z2z1 ;

б) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3,

в) (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3 .

Замечание. Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел, определяемых как комплексные числа вида (а,0). Можно убедиться, что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами. Кроме того, действительное число 1 = (1,0) сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: 1∙ z = z.

Комплексное число (0, b) называется чисто мнимым . В частности, число (0,1) называют мнимой единицей и обозначают символом i.

Свойства мнимой единицы:

1)i∙i=i² = -1; 2) чисто мнимое число (0,b) можно представить как произведение действительного числа (b,0) и i : (b,0) = b∙i.

Следовательно, любое комплексное число z = (a,b) можно представить в виде: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Запись вида z = a + ib называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = a + ib.

3.Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению: z =(a,b) называется разностью комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ), если a = a1 – a2 , b = b1 – b2.

4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: число z = a + ib называется частным от деления z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 (z2 ≠ 0), если z1 = z∙z2. Следовательно, действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: a2 a – b2 b = a1 , b2 a + a2 b = b1.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b).

Запись вида

z = ρ (cos φ + isin φ)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b:  . Следовательно, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Частным случаем операции умножения является возведение в степень:

 формула Муавра.

Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел:

Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексное число  называется корнем n-й степени из z, если z = z1n.

Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения :

Показательная форма комплексного числа.

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера:

, Используя эту формулу, можно получить из еще один вид комплексного числа:  который называется показательной формой записи комплексного числа.

Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида

, где  - комплексные числа. Числа  называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n – его степенью.

Два многочлена Pn (z) и  равны тогда и только тогда, когда m=n, a0 = b0 , a1 = b1 ,…, an = bn .

Число z0 называется корнем многочлена , если Pn (z0) = 0.

Теорема (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Pn(z) на z – z0 ( z0 – не обязательно корень многочлена) равен P(z0).

Теорема (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень .

Вопросы для самопроверки

1.Что такое мнимая единица?

2.  Что такое вещественная и мнимая части комплексного числа? Являются ли они вещественными числами?

3.  Что такое комплексно сопряженные числа? Чем отличаются изображения комплексно сопряженных чисел z и z* на комплексной плоскости?

4.  Как изобразить на комплексной плоскости, пользуясь правилами сложения векторов, сумму и разность двух комплексных чисел7

5.  Чему равно произведение комплексно сопряженных чисел?

6.  Сколько решений имеет квадратное уравнение с вещественными коэффициентами? какие характерные случаи возможны?

7.  В каком виде может быть представлен многочлен. если известны его корни?

ТЕМА 6. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Понятие предела. предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы , произведения и частного функций. непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < êx – x0ê < d,

выполняется условие

êy – Aê < e.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой

.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: .

Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция  не является непрерывной в точке x = 2. Функция  не является непрерывной в точке x = 0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Cвойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C — постоянная функция.

3. Если существует и C — постоянная функция, то

.

4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать êB –f(x) ê < e.

Согласно приведенному определению .

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать êC – f(x)ê < e.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

 ().

Функция  непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

½f(x) – A½ < e.

Пусть теперь функция f(x) определена на полу бесконечном промежутке
(–¥; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

½f(x) – A½ < e.

Два, так называемых, "замечательных предела".

1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая  является касательной к графику функции  в точке .

2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Вопросы для самопроверки.

1.Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.

2.При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.

3.Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?

4.Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?

5.Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости.

6.Чему равен предел суммы четырех функций?

7.В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?

8.При каких условиях непрерывна сложная функция?

ТЕМА7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Понятие производной. Геометрический смысл. Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных. Производные высших порядков. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Инвариантность дифференциала. Формула Тейлора и остаточный член. Формула Тейлора для элементарных функций. применение для приближенного вычисления функций и пределов. содержащих неопределенность. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. выпуклость, вогнутость, точки перегиба. асимптоты. Построение графиков.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Dx  приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение функции Df.

Отношение Df /Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Отношение Dy / Dx или, что то же самое (f(x + Dx)  f(x)) / Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx = 0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x + Dx) – f(x)) / Dx в точке Dx = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y¢ или f¢(x):

.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная  это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.

Таблица производных элементарных функций.

Основные свойства производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f¢ (x) , и С ‑ произвольное число, то функция  имеет производную: (Cf(x))¢ = Cf¢ (x).

3. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S¢ (x) = f¢ (x) + g¢ (x).

4. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P¢ (x) = f¢ (x)g(x) + f(x)g¢ (x).

5. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x) и при этом g(x) ¹ 0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D¢ (x) = (f¢ (x) g(x)  f(x) g¢ (x)) / g2(x).

Производная сложной функции.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x).

Назовем функцию b (z) бесконечно малой в точке z = z0, если .

Пусть функции b (z) и g (z) являются бесконечно малыми в точке z = z0.. Функция b (z) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g (z), если .

Величины r1 и r2 в формулах (2) являются функциями аргумента Dx, бесконечно малыми в точке Dx = 0. Можно показать, что. Это означает, что функции r1(Dx) и r2(Dx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx = 0.

Таким образом приращение функции y = f(x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

Dy = f¢(x) Dx +b (Dx),

где b (Dx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx = 0.

Главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции y = f(x), равная f¢ (x) Dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

dy = f¢ (x) Dx.

,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) ¹0, то  .

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [ab]. В таком случае ее производная представляет собой тоже некоторую функцию х. Продифференцировав эту функцию, мы получим так называемую вторую производную (или производную второго порядка) функции f(x). Продолжая эту операцию, можно получить производные третьего, четвертого и более высоких порядков. При этом f`(x) будем называть производной первого порядка.

Производной n-го порядка (или n-й производной) от функции f(x) называется производная (первого порядка) от ее (n-1)-й производной.

Обозначение: у(n)=(y(n-1))΄=f(n)(x). Производные 2-го и 3-го порядка обозначаются соответственно y′΄ и y΄′΄.

Свойства производных высших порядков.

Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

1.  (cf(x))(n)=c·f(n)(x).

2.  (f(x)+g(x))(n)=f(n)(x)+g(n)(x).

3.  Для y=xm y(n)=n(n-1)…(n-m+1)xm-n. Если m – натуральное число, то при n>m y(n)=0.

4.  Можно вывести так называемую формулу Лейбница, позволяющую найти производную n-го порядка от произведения функций f(x)g(x):

 .

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.

Обозначение: d²y=d(dy).

Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:

dny = d(dn-1y) = (f(n-1)(x)dn-1x)΄ = f(n)(x)dnx.

Свойства дифференциалов высших порядков.

1.  Производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

 .

2.  Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности.

Точки экстремума функции.

Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции y = =f(x), если f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) для всех х из некоторой δ-окрестности точки х0 .

Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

Теорема (теорема Ферма). Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке х0 производную, то f′(x0)=0.

Произведение последовательных натуральных чисел 1∙2∙3∙…∙(n-1)n называется факториалом числа n и обозначается

n! = 1∙2∙3∙…∙(n-1)n .

Дополнительно вводится 0!=1.

Полученное представление функции называется формулой Тейлора, а Rn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.

Формы остаточного члена в формуле Тейлора.

Rn = o(x-a)n запись остаточного члена в форме Пеано.

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.

Найдем приближенное значение числа е, вычислив значение многочлена Тейлора (21.14) при n=8:

 При этом

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ab], если

 таких, что x1 < x2, f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2) ).

Если функция f(x), дифференцируемая на [ab], возрастает на этом отрезке, то  на [ab].

Если f(x) непрерывна на [ab] и дифференцируема на (ab), причем  для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ab].

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х0. Если х0 является точкой экстремума функции, то  или не существует.

Если функция определена в некоторой окрестности точки х0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х0 называется критической точкой функции.

Достаточные условия экстремума.

Теорема Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f ′(x) сохраняет постоянный знак. Тогда:

1)  если f ′(x) > 0 при x < x0 и f ′(x) < 0 при x > x0 , точка х0 является точкой максимума;

2)  если f ′(x) < 0 при x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0 , точка х0 является точкой минимума;

3)  если f ′(x) не меняет знак в точке х0 , эта точка не является точкой экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке находят по схеме:

1)  найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;

2)  вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.

Асимптоты.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1.  Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен. Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.

2.  Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при  или при  конечен, т.е. .

3.  Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при  , , если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при  разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b , так как при  .

Общая схема исследования функции.

1)  область определения функции и ее поведение на границах области определения (найти соответствующие односторонние пределы или пределы на бесконечности);

2)  четность и периодичность функции;

3)  интервалы непрерывности и точки разрыва (указав при этом тип разрыва);

4)  нули функции (т.е. значения х , при которых f(x) = 0) и области постоянства знака;

5)  интервалы монотонности и экстремумы;

6)  интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба;

7)  асимптоты графика функции.

Вопросы для самопроверки.

1.Каков геометрический смысл производной7

2.Каков геометрический смысл дифференциала?

3.Как использовать дифференциал для приближенного вычисления функции?

4.Как найти производную и дифференциал произведения трех функций7

5.Пользуясь определением производной, найдите производную функции у=3х.

6.Как вычисляется производная сложной функции? приведите пример.

7.Что такое вторая производная?

8.Как использовать формулу Тейлора для вычисления приближенных значений функции?

9.Каковы условия возрастания и убывания функции?

10.Сформултруйте необходимое и достаточное условие максимума дифференцируемой функции. В чем различие между необходимым и достаточным условием?

11.Что такое точка перегиба?

12.Какие бывают асимптоты? Приведите примеры.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задача 1.

Даны векторы a и b. Найти вектор c = a + b и скалярное произведение (a ·b),

где a = {1, M + 4, -1, N - 5},b = {-M + 5, -1, 5 – N, 2} .

Задача 2.

Даны матрица А = || аij|| размерностью 3´3 и вектор-строка b. Найти произведения Ат × bт и b ×А;

аij = -i – j + M – N – 4, b = {M-5, 1, 4-N}/

Задача 3.

Даны матрицы А = || аij|| и В = || bij || размерностью 3´3. Проверить, коммутативны ли матрицы А и В, найти определители матриц. Элементы матриц вычисляются по формулам: аij = -i – j + M, bij = 2i - j + N – 5.

Задача 4.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и с помощью формул Крамера.

х + 2у + 3z = 10,

-2х + у + (N-5)z = N-9,

 x – y + 6z = 7.

Задача 5.

Составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными так, чтобы она:

1)  имела единственное решение;

2)  не имела решений;

3)  имела бесконечно много решений.

Найти определители этих систем, учитывая, что каждое из уравнений системы является уравнением прямой линии на плоскости, изобразить эти прямые и пояснить, что означает каждый из трех вариантов с точки зрения взаимного расположения прямых.

Задача 6.

1)  Найти расстояние между точками А ( N + 2, -M – 1, M + N) и B ( M,N,M – N) в трехмерном пространстве.

2)  Найти точку пересечения прямых у = - (N +1)x +2 и y = (M +1)x – N – M.

3)  Найти уравнение прямой, проходящей через точку ( M +1,N +1) и перпендикулярной к прямой у = - 2х –1.

4)  какая кривая описывается уравнением (N+1)x2 + (M+1)y2 =4? Написать каноническое уравнение этой кривой.

Задача 7.

 Найти области определения функций:

а) у = 11 – N – 2x ; б) у = 1 ;

х2 + 2 M + 3 x + M + 2

Задача 8.

1. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z1 = N + 1 +2i, z2 = -2 + (M +1)i.

2. Разложить на множители многочлен х2 – 2 N + 5 х + N + 6.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Задача1.

1. Найти пределы:

а) lim [(N + 5)x2 + ( M +2) x + ( N + M)];

 x ®2

б) lim {(10 - N )ln[ e + tg (arcsin x )] + (10 - M)sin [ M + 1) arctg ex]};

 x ®0

в) lim (M+3)xN+5 + (M+1)xN+2+1

 x®¥ (2M+2)xN+5-1

г) lim N+1+(10-M)x – N+1 -(2M-9)x

 x®0 x

д) lim [ x2(N+1) + (M +5)xN+1 - x2(N+1) - (M +1) x N+1]

 х ®¥

е) lim sin [(10 – N)x]

 x ®0 ln[1+(12-M)x]

3.  В каких точках непрерывны функции:

а) у = tg (M+3)x ; б) y = 1 ;

x2 + 2 Ö N + 3 x + N + 2

Задача №2

Найти производные функций:

1) у = ( M+N+5)xM+N+2 2) y = ln(x+N)cos(M+2)x-e(N+1)x tg(M+2)x

3) y = arctg9N+2)x 4) y = sin[ln(3x+N+2)]-arctg[cos(M+3)x]

 ln(2x+M+1)

Задача 3.

Найти вторую производную функции у = е(N+2)чcos(М+2)х.

Задача 4.

Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенное значение функции

у = ln[1 + (N+2)x] при х = 0,1

5

Задача 5.

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х2 функцию

 у = cos (М+1)х + ln 1 + (N+2)х и найти ее приближенное значение при х = 0,1. Почему

3  4

это приближенное значение более точно соответствует истинному значению функции, чем приближенное значение, полученное с помощью первого дифференциала?

Задача 6.

Пользуясь формулой Тейлора, найти предел lim tg [(N+2)x] ;

 x®0 ln [ 1 –(M+3)x]

Задача 7.

Исследовать функции и построить их графики:

а) у = (N+2)x2+x+1 б) y = M+2

x x2+1.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

В первом семестре выполняются контрольные работы 1 и 2. Вариант каждой задачи выбирается по последней и предпоследней цифрам номера студенческого билета (зачетной книжки). Последняя цифра обозначается буквой N, предпоследняя – буквой М. Например, для зачетной книжки № 147 N=7, М=4. При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1.  Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2.  В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (номер зачетной книжки), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3.  В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту контрольной работы. Задания, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4.  Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

5.  Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

6.  Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7.  После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

8.  Если рецензент предлагает внести в решения задач исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

9.  В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

10.  При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.

11.  Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.