Лекции по гидравлике

раствором. Сами же примеси носят название компонент. Физические свойства

такой гомогенной смеси (плотность и удельный вес) можно определить по

компонентному составу:

[pic]

где:- плотность смеси,

- плотность i - той компоненты, [pic] количество / - той компоненты.

Величины других параметров смеси (вязкость и др.) зависят от многих физико-

химических факторов, что является самостоятельным объектом изучения.

В тех случаях, когда примеси в основной жидкости находятся не на

молекулярном уровне, а в виде частиц, представляющих собой многочисленные

ассоциации молекул вещества примеси, то такие смеси не могут считаться

однородными растворами. Физические свойства таких смесей (включая плотность

и удельный вес) будут зависеть от того, какое вещество будет находиться в

точке измерения. Такие смеси будут неоднородными (гетерогенными) смесями. В

литературе такие смеси часто называют многофазными жидкостями.

Отличительной особенностью многофазных жидкостей является наличие в них

внутренних границ раздела между фазами, вдоль этих поверхностей раздела

действуют силы поверхностного натяжения, которые могут оказаться

значительными при большой площади поверхности границ между фазами. Силы

поверхностного натяжения вкупе с

другими силами, действующими в многофазной жидкости, увеличивают силы

сопротивления движению жидкости.

Примеров многофазных жидкостей в природе достаточно: эмульсии - смеси двух

и более нерастворимых друг в друге жидкостей; газированные жидкости - смеси

жидкости со свободным газом, окклюзии - смеси жидких и газообразных

углеводородов; суспензии и пульпы - смеси жидкостей и твёрдых частиц,

находящихся в жидкости во взвешенном состоянии и т.д.

1.4. Неньютоновские жидкости

Многокомпонентные жидкости как гомогенные, так и гетерогенные, в большей

степени, могут содержать в своём составе компоненты, значительно изменяющие

вязкость жидкости, и даже кардинально меняющие саму физическую основу и

природу внутреннего трения. В таких жидкостях гипотеза вязкостного трения

Ньютона (пропорциональность напряжений градиенту скорости относительного

движения жидкости) неприменима. Соответственно такие жидкости принято

называть неньютоновскими жидкостями.

Среди неньютоновских жидкостей принято выделять вязкопластичные жидкости,

псевдопластичные жидкости и дилатантные жидкости. Для вязкопластичных

жидкостей характерной особенностью является то, что они до достижения

некоторого критического внутреннего напряжения т0 ведут себя как твёрдые

тела и лишь при превышении внутреннего напряжения выше критической величины

начинают двигаться как обычные жидкости. Причиной такого явления является

то, что вязкопластичные жидкости имеют пространственную жёсткую внутреннюю

структуру, сопротивляющуюся любым внутренним напряжениям меньшим

критической величины, это критическое напряжение в литературе называют

статическим напряжением сдвига. Для вязкопластичных жидкостей справедливы

следующие соотношения Бингама:

[pic]

Для псевдопластичных жидкостей зависимость между внутренним напряжением

сдвига и градиентом скорости относительного движения слоев жидкости в

логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной.

Угловой коэффициент соответствующей прямой линии заключён между 0 и 1

Поэтому зависимость между напряжением и градиентом скорости можно записать

в следующем виде:

[pic]

где: k - мера консистенции жидкости,

п - показатель, характеризующий отличие свойств псевдопластичной

жидкости от ньютоновской.

Для псевдопластичных жидкостей полезно ввести понятие кажущейся вязкости

жидкости[pic]

тогда: [pic], т.е. величина кажущейся вязкости псевдопластичной жидко-

сти убывает с возрастанием градиента скорости.

Дилатантные жидкости описываются тем же самым уравнением, что и

псевдопластичные жидкости, но при показателе п > 1 .У таких жидкостей

кажущаяся вязкость увеличивается при возрастании градиента скорости. Такая

модель жидкости может быть применена при описании движения суспензий.

Неньютоновские жидкости обладают ещё одним свойством, их вязкость

существенным образом зависит от времени. По этой причине (например, для

вязкопластичных жидкостей) величина статического напряжения сдвига зависит

от предыстории: чем более длительное время жидкость находилась в состоянии

покоя, тем выше величина неё статического напряжения сдвига. Если прервать

движение такой жидкости (остановить её), то для начала движения такой

жидкости потребуется развить в жидкости меньшее напряжение, чем и том

случае, когда она находилась в покое длительное время. Следовательно,

необходимо различать величину начального статического напряжения сдвига и

динамическую величину этого показателя. Жидкости, которые обладают такими

свойствами, называются тиксотропными. Жидкости, у которых наоборот

динамические характеристики выше, чем начальные называются реопектическими

неньютоновскими жидкостями. Такие явления объясняются тем, что внутренняя

структура таких жидкостей способна упрочняться с течением времени, или (в

другом случае) для восстановления начальных свойств им требуется некоторое

время.

2 .Основы гидростатики 2.1. Силы, действующие в жидкости

Поскольку жидкость обладает свойством текучести и легко деформируется под

действием минимальных сил, то в жидкости не могут действовать

сосредоточенные силы, а возможно существование лишь сил распределённых по

объёму (массе) или по поверхности. В связи с этим действующие на жидкости

распределённые силы являются по отношению к жидкости внешними. По характеру

действия силы можно разделить на две категории: массовые силы и

поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе тела и действуют на каждую жидкую

частицу этой жидкости. К категории массовых сил относятся силы тяжести и

силы инерции переносного движения. Величина массовых сил, отнесённая к

единице массы жидкости, носит название единичной массовой силы. Таким

образом, в данном случае понятие о единичной массовой силе совпадает с

определением ускорения. Если жидкость, находится под действием только сил

тяжести, то единичной силой является ускорение свободного падения:

[pic]

где М' - масса жидкости

Если жидкость находится в сосуде, движущимся с некоторым ускорением а, то

жидкость в сосуде будет обладать таким же ускорением (ускорением

переносного движения):

[pic]

Поверхностные силы равномерно распределены по поверхности и пропорциональны

площади этой поверхности. Эти силы, действуют со стороны соседних объёмов

жидкой среды, твёрдых тел или газовой среды. В общем случае поверхностные

силы имеют две составляющие нормальную и тангенциальную. Единичная

поверхностная сила называется напряжением. Нормальная составляющая

поверхностных сил называется силой давления Р, а напряжение (единичная

сила) называется давлением:

[pic] 5

где: S - площадь поверхности.

Напряжение тангенциальной составляющей поверхностной силы Т (касательное

напряжение[pic]) определяется аналогичным образом (в покоящейся жидкости

Т=0).

[pic]

Величина давления (иногда в литературе называется гидростатическим

давлением) в системе СИ измеряется в паскалях.

[pic]

Поскольку эта величина очень мала, то величину давления принято измерять в

мега-паскалях МПа

1МПа = \ 106 Па.

В употребляемой до сих пор технической системе единиц давление измеряется в

технических атмосферах, am.

С,

1 am = \кГ/см2 = 0,1 МПа, 1 МПа = 10 am.

В технической системе единиц давление кроме технической атмосферы

измеряется также в физических атмосферах, А.

\А = 1,033 am.

Различают давление абсолютное, избыточное и давление вакуума. Абсолютным

давлением называется давление в точке измерения, отсчитанное от нуля. Если

за уровень отсчёта принята величина атмосферного давления, то разница между

абсолютным давлением и атмосферным называется избыточным давлением.

[pic]

Если давление, измеряемое в точке ниже величины атмосферного давления, то

разница между замеренным давлением и атмосферным называется давлением

вакуума

[pic]

Избыточное давление в жидкостях измеряется манометрами. Это весьма обширный

набор измерительных приборов различной конструкции и различного исполнения.

2.2. Свойства гидростатического давления

В неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения - напряжение

сжатия. Как отмечалось ранее, жидкость в общем случае может находиться под

действием двух сил - силы давления равномерно распределённой по всей

внешней поверхности выделенного жидкого тела и массовых сил, определяемых

характером переносного движения. Под внешней границей жидкого тела могут

пониматься как соседние тела: твёрдые (стенки сосуда или трубы, в которые

помещена жидкость), газообразные (поверхность раздела между жидкостью и

газовой средой), так и условные поверхности, мысленно выделяемые внутри

самой жидкости. Действующее на внешнюю поверхность жидкости давление

обладает двумя основными свойствами: t

1. Давление всегда направлено по внутренней нормали к выделенной

поверхности. Это свойство вытекает из самой сущности давления и

доказательств не требует. Тем не менее, поясним этот постулат простым

примером. Отсечём от жидкого тела часть его объ-

ёма и для сохранения равновесия оставшейся части жидкости приложим к

образовавшемуся сечению систему распределённых сил. По своей величине и

напрвлению действия эти силы должны обеспечить эк[pic] вивалентное влияние

на оставшийся объём жидкости со стороны отсечённой части жидкого тела.

Поскольку в покоящейся

жидкости не могут существовать касательные напряжения, то приложенные к

сечению силы могут быть направлены лишь по внутренней нормали к площади

сечения.

2. В любой точке внутри жидкости давление по всем направлениям одинаково.

Другими словами величина давления в точке не зависит от ориентации

площадки, на которую действует давление.

Для доказательства этого положения выделим в районе произвольно выбранной

точки находящейся внутри жидкости малый отсек жидкости в виде тетраэдра.

Три взаимно перпендикулярные грани отсека будут параллельны координатным

плоскостям, четвёртая грань расположена под произвольным углом (по

отношению к одной из координатных плоскостей). От[pic] бросим массу

жидкости, находящуюся с внешней стороны поверхности тетраэдра, а действие

отброшенной массы жидкости на выделенный отсек заменим силами, которые

обеспечат равновесие в покоящейся жидкости. При такой замене мы сделали

некоторое допущение, ввели сосредоточенные силы, действующие на грани

отсека. Однако это допущение мож- . но считать справедливым ввиду малости

отсека. Тогда для обеспечения равновесия на отсек жидкости должны

действовать силы давления нормальные к граням отсека [pic] ; корме того, на

этот же отсек жидкости будут действовать массовые силы

характер действия которых определяется переносным движением, т.е. движением

сосуда, относительно которого покоится жидкость. Величина массовых сил

будет

пропорциональна массе жидкости в отсеке:[pic]

Запишем уравнение равновесия отсека жидкости в проекциях на оси координат.

[pic]

Выразив силы через напряжения, уравнения равновесия будут иметь следующий

вид:

[pic]

где: [pic]- площадь наклонной грани отсека, [pic]- проекции

ускоре-

ния переносного движения на оси координат.

учитывая, что:[pic]

Уравнения равновесия примут вид:

[pic]

Пренебрегая малыми величинами, получим:[pic]

3. Для жидкости находящейся в состоянии равновесия справедлив так

называемый закон Паскаля утверждающий, что всякое изменение давления в

какой-либо точке жидкости передаётся мгновенно и без изменения во все

остальные точки жидкости.

2.3. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим случай равновесия жидкости в состоянии «абсолютного покоя», т.е.

когда на жидкость действует только сила тяжести. Поскольку объём жидкости в

сосуде мал по сравнению с объёмом Земли, то уровень свободной поверхности

жидкости в сосуде можно считать горизонтальной плоскостью. Давление на

свободную поверхность жидкости равно атмосферному давле[pic] нию р0.

Определим давление р в произвольно выбранной точке М, расположенной на

глубине h. Выделим

около точки М горизонтальную площадку площадью dS . Построим на данной

площадке вертикальное тело, ограниченное снизу самой площадкой, а сверху (в

плоскости свободной поверхности жидкости) её проекцией. Рассмотрим

равновесие полученного жидкого тела. Давление на основание выделенного

объёма будет внешним по отношению к жидкому телу и будет направлено

вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия в проекции на вертикальную

ось тела.

[pic]

Сократив все члены уравнения на dS, получим:

[pic]

Давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно р0,

следовательно, давление во всех точках жидкости на глубине h также

одинаково согласно основному уравнения гидростатики. Поверхность, давление

на которой одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае

поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.

Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую на

расстоянии z0 от свободной поверхности, тогда можно записать уравнение

гидростатики в виде:

[pic]

Все члены уравнения имеют линейную размерность и носят название:

- геометричкская высота,

[pic] - пьезометрическая высота

Величина[pic]носит название гидростатического напора.

Основное уравнение гидростатики, доказанное на примере жидкости находящейся

под действием только сил тяжести, будет справедливо и для жидкости, которое

испытывает на себе ускорение переносного движения. Под действием сил

инерции переносного движения будет меняться положение свободной поверхности

жидкости и поверхностей равного давления относительно стенок сосуда и

относительно горизонтальной плоскости. Вид этих поверхностей целиком

зависти от комбинации ускорений переносного движения и ускорения сил

тяжести. В литературе состояние равновесия жидкости при наличии переносного

движения называется относительным покоем жидкости. Любые комбинации

ускорений сводятся к двум возможным видам равновесия жидкости

Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном движении

сосуда. Примером может быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с

некоторым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы

тяжести [pic] и сила инерции равномерно укоренного движения цистерны[pic].

Тогда равно-

действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов

ускорения переносного движения и ускорения свободного падения.

[pic]

При данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а

будет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение

свободного падения g, как всегда ориентировано вертикально вниз, т.е. как

показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной

поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности

жидкости, согласно основному условию равновесия жидкости будет направлена

перпендикулярно вектору[pic], т.к., равнодействующий вектор массовых сил

должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверхности

жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости

определяется соотношением ускорений[pic]

Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубине[pic]под

уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости

измеряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку

[pic]параллельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение

равновесия жидкости запишется в следующем виде:

[pic]

Величину[pic]заменим эквивалентной величиной[pic], где h -погружение точки

М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти

две величины

одинаковы, т.к. [pic]. После этих преобразований уравнение равновесия

жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного

закона гидростатики:

[pic]

Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от

положения этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости.

Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности

жидкости, и иметь такой же уклон[pic]

Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде. Свободная поверхность

жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил

тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором

уровне[pic]относительно дна сосуда. После того как мы приведём сосуд во

вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой

скоростью со = const, начальный уровень свободной поверхности жидкости

изменится: в центре сосуда он понизится, а по краям сосуда повысится. При

этом форма свободной поверхности примет явно вид криволинейной поверхности

вращения. Это явление объясняется тем, что [pic] при вращении сосуда вокруг

своей оси жидкость в нём будет испытывать ускорение переносного

движения[pic] направленное в сторону стенок сосуда. Поскольку

равнодействующая двух сил: силы тяжести и центробежной силы должна быть

направлена по нормали к свободной поверхности жидкости в каждой точке

поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше,

две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вертикально вниз

и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.

[pic]

В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения

[pic] будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной

плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.

[pic]

Отсюда:

[pic]

В центре на оси вращения, на расстоянии [pic]от дна сосуда будет

расположена

самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.[pic]

[pic]

Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся

вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения

(кривая АОВ-парабола).

Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в

частности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:

[pic]

Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда,

наклоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же,

что подтверждает универсальность формулы основного уравнения гидростатики.

2.4. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

После рассмотрения некоторых частных случаев равновесия жидкости рассмотрим

общее диф[pic] ференциальное равновесия в самом общем виде. Для этой цели

выделим отсек жидкости малых размеров в виде параллелепипеда. Масса

жидкости в выделенном объёме:

[pic]

На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и

правую грани соответственно):[pic]. На переднюю и заднюю грани: [pic], на

нижнюю

и верхнюю грани:[pic]

[pic]

Поскольку давление на правую грань больше, то i[pic]

По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней.

на переднюю [pic], на заднюю [pic], на нижнюю

[pic] , на верхнюю[pic] Проекции массовых сил на координатные оси:

на ось ОХ будет на ось ОУ будет

на ось OZ будет[pic] Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:

[pic]

сумма сил действующих вдоль оси 07:

[pic]

сумма сил действующих вдоль оси OZ:

[pic]

где:[pic], проекции ускорения массовых сил на координатные оси.

После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия

жидкости:

[pic] i i >

2.5. Сообщающиеся сосуды

В своей практической деятельности человек часто сталкивается с вопросами

равновесия жидкости в сообщающихся сосудах, когда два сосуда А и В

соединены между собой жёстко или гибким шлангом. Сами сосуды (А и В) обычно

называются коленами. Такой гидравлический элемент часто используется в

различных гидравлических машинах (гидравлические прессы и др.), системах

гидропривода и гидроавтоматики, различных измерительных приборах и в ряде

других случаев. С природ[pic] ными сообщающимися сосудами человек

встречается с давних пор: сообщающимися сосудами больших размеров являются

водонасыщенные пласты горных пород с системой колодцев, играющих роль

отдельных колен природной гидродинамической системы.

В открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью свободный

уровень жидкости устанавливается на одном и том же уровне в обоих коленах.

Если в коленах сосудов залиты две несмешивающиеся жидкости с различной

плотностью, то свободные уровни жидкости в правом и левом коленах

устанавливаются на разных высотах в зависимости от соотношения плотностей

жидкостей.

Для типичного случая, изображённого на рисунке, запишем уравнение

равновесия жидкости относительно уровня раздела жидкостей.

или:[pic]

В закрытых сообщающихся сосудах давления на свободную поверхность могут

быть шными, тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:

[pic]

2.6. Сила давления жидкости па плоскую поверхность, погружённую в

жидкость

Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется

глубиной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и

величиной

плотности жидкости р.

Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках

этой поверхности, т.к.:

[pic] Отсюда:[pic]

[pic]

Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно

сосуда) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на

глубине погружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый

«гидравлический парадокс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов

одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к.

площади доньев у всех сосудов одинаковы, одинаковы и величины давлений.

Сила давления на наклонную поверхность, погруженную в жидкость.

Практическим примером такой поверхности может служить наклонная стенка

сосуда. Для вывода урав-

нения и вычисления силы давления на стенку выберем следующую систему

координат: ось ОХ направим вдоль пересечения плоскости свободной

поверхности жидкости с наклонной стенкой, а ось OZ направим вдоль этой

стенки перпендикулярно оси ОХ. Тогда в качестве координатной плоскости XOZ

будет выступать сама наклонная стенка. На плоскости стенки выделим малую

площадку[pic], которую, в связи с малыми размерами можем считать

горизонтальной. Величина давления на глубине площадки будет равна:

[pic]

где: h - глубина погружения площадки относительно свободной поверхности

жидкости (по вертикали).

[pic] Сила[pic]давления[pic]dP на площадку:

Для определения силы давления

на всю смоченную часть наклонной стенки (часть площади стенки сосуда,

расположенная ниже уровня свободной поверхности жидкости) необходимо

проинтегрировать это уравнение по всей смоченной части площади стенки S .

[pic]

Интеграл[pic] представляет собой статический момент площади S относительно

оси ОХ. Он, как известно, равен произведению этой площади на координату её

центра тяжести zc. Тогда окончательно:

[pic]

Таким образом, сила давления на наклонную плоскую поверхность, погружённую

в жидкость равна смоченной площади этой поверхности на величину давления в

центре тяжести этой площади. Сила давления на плоскую стенку кроме величины

и направления характеризуется также и точкой приложения этой силы, которая

называется центром давления.

Центр давления силы атмосферного давления p0S будет находиться в центре

тяжести площадки, поскольку атмосферное давление передаётся на все точки

жидкости одинаково. Центр давления самой жидкости на площадку можно

определить исходя из теоремы о моменте равнодействующей силы. Согласно этой

теореме момент равнодействующей

силы относительно оси ОХ будет равен сумме моментов составляющих сил

относительно этой же оси.

[pic]

откуда:[pic]

где:- положение центра избыточного давления на вертикальной оси,

[pic] - момент инерции площадки S относительно оси ОХ.

Отсюда центр давления (точка приложения равнодействующей силы избыточного

давления) расположен всегда ниже центра тяжести площадки. В сучаях, когда

внешнней действующей силой на свободную поверхность жидкости является сила

атмосферного давления, то на стенку сосуда будут одновременно действовать

две одинаковые по величине и противоположные по направлению силы

обусловленные атмосферным давлением (на внутреннюю и внешнюю стороны

стенки). По этой причине реальной действующей несбалансированной силой

остаётся сила избыточного давления.

2.7. Сила давления на криволинейную поверхность, погружённую в жидкость

Выберем внутри покоящейся жидкости криволинейную поверхность ABCD, которая

может быть частью поверхности некоторого тела погруженного в жидкость.

Построим проекции этой поверхности на координатные плоскости. Тогда в

координатной плоскости XOZ проекцией этой поверхности будет плоская

поверхность [pic], в координатной

плоскости YOZ — плоская поверхность[pic] и в плоскости свободной

поверхности

жидкости (координатная плоскость ХОТ) - плоская поверхность [pic]. На

криволи-

нейной поверхности выделим малую площадку dS, проекции которой на

координатные

плоскости будут соответственно [pic] . Сила давления на криволинейную

поверхность dP будет направлена по внутренней нормали к этой поверхности и

может быть представлена в виде:

Горизонтальные составляющие могут быть определены, как силы давления

'[pic]' - на

проекции[pic]малой площадки dS на соот-

ветствующие координатные плоскости:

[pic]

[pic]

Интегрируя эти уравнения, получим (как в случае с давлением на наклонную

поверхность):

[pic]

Вертикальная составляющая силы давления:

^[pic]

Второй интеграл в этом равенстве представляет собой объём образованный

рассматриваемой криволинейной поверхностью ABCD и её проекцией на свободную

поверхность жидкости[pic]. Этот объём принято называть телом давления[pic]

[pic]

Таким образом, горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную

поверхность равны давлениям на вертикальные проекции этой поверхности, а

вертикальная составляющая равна весу тела давления, и силе внешнего

давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности.

Основные уравнения гидростатики широко используются на практике. Примероми

могут служить простейшие гидравлические машины - гидравлический пресс,

построенный по принципу сообщающихся сосудов и гидравлический аккумулятор.

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров приводного (1) и рабочего

(2) со-

единеных между собой трубопроводом и представляет систему сообщающихся

сосудов. В приводном цилиндре перемещается плунжер малого диаметра d, в

рабочем цилиндре находится поршень с большим диаметром D. Связь между

плунжером и рабочим поршнем осуществ[pic] ляется через рабочую жидкость,

заполняющую гидравлическую систему (сообщающиеся сосуды). Усилие F через

рычаг передаются рабочей жидкости.

Сила давления на жидкость под плунжером Р] передаёт жидкости давление р,

которое, в свою очередь, передаётся во все точки рабочего поршня.

[pic]

Тогда сила давления на поверхность рабочего поршеня будет равна'

[pic]

Таким образом, с помощью гидравлического пресса, приложенная к концу рычага

^ сила, увеличивается в[pic]раз.

2.8. Равновесие твёрдого тела в жидкости

Определим силу давления на твёрдое тело, погружённое в жидкость. На

замкнутую криволинейную поверхность, являющуюся поверхностью твердого тела

погружённого в

жидкость будут действовать массовые силы (в данном случае силы тяжести) и

поверхностные, силы давления на поверхность тела. Рассмотрим действие сил

давления. Как известно, горизонтальные составляющие силы давления будут

взаимно уравновешены. Так как проекции тела на координатную плоскость XOZ с

его левой и правой сторон [pic] совпадут; то совпадут и координаты центров

тяжести этих проекций. Тогда проекции сил давления на ось

ОХ будут одинаковыми по величине, но противоположными по направлению[pic]

Аналогично можно записать и для проекций сил давления на ось OY (давление

на проекции поверхностей в координатной плоскости YOZ),[pic].

Неуравновешенными будут

лишь вертикальные составляющие силы давления, действующие на верхнюю и

нижнюю стороны поверхности тела.

Вертикальными сечениями выделим на верхней и нижней половинах тела малые

площадки. Тогда вертикальные составляющие на верхнюю и нижнюю площадки

будут равны:

[pic]

После интегрирования по объёму тела найдём равнодействующую сил давления.

Она окажется равной разности весов двух тел давления, ограниченных

свободной поверхностью жидкости и верхней и нижней поверхностями тела.

[pic]

Равнодействующая сил давления носит название выталкивающей силы, эта сила

направлена вертикально вверх и численно равна весу жидкости в объёме

вытесненной телом. Последнее положение получило название закона Архимеда.

Закон Архимеда часто формулируют несколько иначе: «тело, погружнное в

жидкость теряет в своём весе столько сколько весит вытесненная им

жидкость».

Таким образом, На погружённое в жидкость тело действуют две силы:

вес тела[pic]и выталкивающая сила[pic]

Если[pic]Тело будет тонуть.

Если[pic]Тело будет всплывать до тех пор пока вес тела и величина

выталкивающей силы, действующей на погруженную часть объёма тела не

уравновесятся.

Если[pic]Тело будет находиться во взвешенном состоянии в жидкости,

т.е. плавать внутри жидкости на любой заданной глубине.

Для тела плавающего на поверхности жидкости должно, таким образом

выполняться условие:

[pic]

Другими словами, степень погружения плавающего на поверхности тела под

уровень жидкости заваисит от со[pic] отношения плотности тела[pic]и

жидкости:

Если тело однородное, то точка приложения силы тяжести тела и точка

приложения выталкивающей силы совпадают. В тех случаях, когда плавающее на

поверхности жидкости тело не однородно по своему составу (корабль с грузом)

в условиях равновесия точки приложения действующих на тело сил

располагаются в разных местах на прямой вертикальной линии. В таких случаях

на плавающее в жидкости тело действует пара сил, от

действия которой зависит положение тела относительно жидкости Такие

плавающие тела могут находиться в остойчивом и не остойчивом состоянии Так

тело 1 под действием пары сил находится в состоянии равновесия На тело 2

действует пара сил, стремящаяся уменьшить угол крена (угол между осью

плавания тела и плоскостью сво[pic] бодной поверхности жидкости) Такое

положение плавающего тела называется остойчивым На тело 3 действует пара

сил, стремящаяся увеличить угол крена (перевернуть тело), такое положение

тела называется не остойчивым положением

; t* 3. Элементы кинематики жидкости

Кинематикой называют раздел механики, изучающий движение физических тел

вообще, вне связи с источником движения (силами). Это определение

справедливо и для кинематики жидкости как отдельного раздела гидравлики.

3.1. Методы изучения движения жидкости.

Жидкость представляет собой физическое тело, состоящее из бесконечно

большого числа бесконечно малых частиц. С большой степенью точности мы

можем рассматривать жидкое тело как сплошную среду, эта модель позволяет

значительно упростить решение большинства гидравлических задач. Тем не

менее, нередки случаи, когда уровень исследования движения жидкого тела

требует глубокого знания физических процессов происходящих в движущейся

жидкости на молекулярном уровне. В таких случаях вполне удобная модель

сплошной среды может оказаться неприемлемой.

Исходя из практики изучения гидравлики как прикладной дисциплины, можно

упомянуть два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод

Эйлера.

Описание движения жидкости методом Лагранжа сводится к рассмотрению

положения частиц жидкости (в полном смысле слова) в любой момент времени.

Так в начальный момент времени частицы находились в точках 1, 2, 3 и 4. По

истечении некоторого времени они переместились в точки: Г, 2',3'и4', причём

это перемещение сопровождалось изменением объёмов и форм частиц (упругой

деформацией). Тогда можно утверждать, что частицы жидкости при [pic] своём

движении участвуют в трёх видах движения (поступательном, вращательном и

деформации). Для описания такого сложного движения жидкости необходимо,

таким образом, определить как траектории частиц, так и гидравлические

характеристики частиц (плотность р, температуру Т и скорость и) в функции

времени и координат.

[pic]

Переменные а, Ь, с, и / носят название переменных Лагранжа. Задача сводится

к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных для

каждой части-

цы жидкости. Метод Лагранжа ввиду громоздкости и трудности решения может

использоваться в случаях детального изучения поведения лишь отдельных

частиц жидкости. Использование этого метода для инженерных расчётов не

рентабельно.

Суть другого метода, метода Эйлера заключается в том, что движение жидкости

подменяется изменением поля скоростей. Под полем скоростей понимают

некоторую достаточно большую совокупность точек бесконечного пространства

занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый

момент времени находится частица жидкости с определённой скоростью

(вектором скорости). Припишем неподвижным точкам пространства скорость

частиц жидкости, которые в данный момент времени находятся в этих точках.

Поскольку пространство бесконечно и непрерывно, то мы имеем массив данных о

скоростях достаточно полный, чтобы определить (задать) поле в каждой его

точке. Условно, нос достаточной точностью такое поле можно считать

непрерывным.

Несмотря на то, что исходные условия создания модели движущийся жидкости

довольно сложные, тем не менее, метод Эйлера весьма удобен для расчётов.

Построение поля скоростей осуществляется следующим образом:

На некоторый момент времени (например, to) произвольным образом выберем

необходимое число точек, в которых находятся частицы жидкости.

Приписав их скорости [pic] точкам неподвижного

пространства (1, 2, 3, 4, 5 и 6) мы сделаем «моментальную фотографию» поля

скоростей на выбранный момент времени. В следующий момент времени [pic]в

тех же выбранных точках

неподвижного пространства будут находиться другие частицы жидкости, имеющие

другие скорости [pic]. Выполнив уже

известную процедуру второй раз, получим но[pic] вую «моментальную

фотографию» поля скоростей на момент времени[pic]. Теперь вместо изучения

траекторий частиц жидкости

будем сравнивать поля скоростей. Тогда система уравнений примет вид:

[pic]

Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по

аналогии с электромагнитным, тепловым и др. полями. Это определение не

противоречит физической стороне процесса движения жидкости. Анализируя

состояние гидродинамического поля на разные моменты времени[pic], можно

отметить, что с течением времени поле изменилось, несмотря на то, что в

отдельных точках 5 и 6 скорости остались постоянными[pic] Такое поле

называют нестационарным гидродинамическим полем. В частном случае, когда во

всех точках неподвижного пространства с течением времени предыдущие частицы

жидкости сменяются другими с такими же скоростями, то поле скоростей во

времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называют стационарным. В

соответствии с этим различают и два вида движения жидкости: установившееся,

когда поле скоростей является стационарным и неустановившееся при

нестационарном гидродинамическом поле.

3.2.Кинематические элементы движущейся жидкости

Основной кинематической характеристикой гидродинамического поля является

линия тока - кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по

касательной к кривой. И ходя из данного определения можно записать

дифференциальное уравнение линии [pic] тока:

[pic]

Если через некоторую неподвижную в пространстве кривую провести линии тока,

то полученная поверхность называется поверхностью тока, а образованное этой

поверхностью тело будет называться трубкой тока. Жидкость, наполняющая

трубку тока, называется элементарной струйкой. Поскольку линии тока никогда

не пересекаются, то поверхность трубки тока является непроницаемой [pic]

внешней границей для элементарной струйки жидкости. Сечение трубки тока,

нормальное к линиям тока называется живым сечением элементарной струйки dS.

При установившемся движении жидкости понятия линии тока и траектории

движения частицы жидкости совпадают. Объём жидкости протекающий через живое

сечение элементарной струйки в единицу времени называется расходом

элементарной струйки.

[pic] ?

где: [pic] объём жидкости, протекающий через живое сечение трубки тока

за

время[pic]

[pic] расход жидкости в живом сечении трубки тока. Размерность расхода

жидкости в системе СИ -м/с.

Гидродинамическое поле считается потенциальным (безвихревым), если в этом

поле отсутствует вихревое движение жидкости. В потенциальном поле может

существовать лишь поступательное или криволинейное движение жидкости. 3.3

Уравнение неразрывности жидкости

Если в гидродинамическом поле отсутствуют вихри, то; для такого поля можно

записать уравнение, связывающее параметры движущейся жидкости (плотность

жидкости) с

параметрами, характеризующими условия движения жидкости. Вывод такого

уравнения основан на представлении жидкости как сплошной непрерывной среды,

в силу чего такое уравнение получило название уравнения неразрывности.

Для этой цели выделим в пространстве малый элемент жидкой среды в виде

па[pic] раллелепипеда, стороны которого будут равны соответственно.[pic].

Грани

параллелепипеда пусть будут параллельны координатным плоскостям. В центре

элемента в данный момент времени будет находиться частица жидкости,

плотность которой равна р, а вектор скорости движения и направлен таким

образом, что жидкость втекает внутрь элемента через левую, нижнюю и

переднюю грани элемента и вытекает через противоположные грани. Будем

считать также, что размер элемента достаточно мал, и можно допустить, что в

пределах этого элемента изменение плотности жидкости и скорости её движения

будет прямо пропорционально расстоянию от центра элемента. Одновременно

размеры граней будут достаточно велики по сравнению с точкой, что позволит

утверждать, что плотность жидкости и скорость во всех точках граней будут

одинаковыми, как и плотность жидкости в пределах соответствующих граней.

Тогда произведение плотности жидкости на вектор скорости (импульс) в

специальной литературе часто называют вектором

массовой скорости ри.

В таком случае проекция вектора массовой скорости в центре левой грани

элемента на ось ОХ будет равна:

[pic]

а проекция вектора массовой скорости в центре правой грани элемента на ось

ОХ:

[pic] &

Масса жидкости, поступившая через левую грань элемента за малый интервал

времени dt\

[pic]

масса жидкости, вытекшая через правую грань элемента за малый интервал

времени dt:

[pic]

Изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси

ОХ:

[pic]

Аналогично, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости

вдоль оси OY:

1,

[pic]

и вдоль оси OZ:

[pic]

Окончательно, изменение массы жидкости внутри элемента при движении

жидкости в произвольном направлении:

[pic] ? или

[pic]

Величина плотности жидкости в начальный момент (до начала движения жидкости

t = Q) - р, а по истечении бесконечно малого интервала времени (т.е.[pic]

[pic]

Масса жидкости в объёме выделенного элемента в начальный момент времени:

[pic]

для времени[pic]:

[pic]

Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:

[pic] •> или:

[pic] i

откуда для наиболее общего случая нестационарного поля[pic]дифференциальное

уравнение неразрывности запишется в следующем виде:

[pic]

и для частного случая - стационарного поля[pic]:

[pic] «

В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем

виде:

[pic] ?

3.4 Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости

Выделим в элементарной струйке жидкости двумя сечениями 1 - Г и 2 - 2'

малый отсек жидкости длиной dl. Объём жидкости внутри выделенного

отсека[pic]

[pic] Масса жидкости, вошедшая в элементарную трубку тока за временной

интервал dt, будет равна:

[pic]

Масса жидкости, вытекшая за это же время через противоположное сечение

отсека:

1 В данном разделе для удобства записи вместо принятых ранее обозначений

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5