Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 ¹ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

M¢3 = = 0, M²3 = = 0.

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы `A рассмотрим окаймляющий минор

= = -35 ¹ 0,

значит, ранг расширенной матрицы r(`A) = 3. Поскольку r(A) ¹ r(`A), то система несовместна.

5.2 Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

5.3 Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

D = det (ai j)

и n вспомогательных определителей D i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D × x i = D i (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x i = D i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

x1 + x2 + x3 + x4 = 5,

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,

2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,

3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

D = = -142 ¹ 0,

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i (i=), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:

D 1 = = - 142, D 2 = = - 284,

D 3 = = - 426, D 4 = = 142.

Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.

5.4 Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений

x1 - x2 + x3 = 6,

2x1 + x2 + x3 = 3,

x1 + x2 +2x3 = 5.

Решение. Обозначим

A = , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку D = det =5 ¹ 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

А-1 = 1/D .

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае

A-1 =

и, следовательно,

= .

Выполняя действия над матрицами, получим:

x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, С = (1, -2, 3)T.

5.5 Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и `A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.

Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:

a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5)

... ... ... ... ... ...

am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число l, что будет выполняться равенство

AX = lX.

Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = lX в виде (A - lE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

(a11 -l)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,

a21x1 + (a22 -l)x2 +... + a2nxn = 0,

... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)

an1x1 + an2x2 +... + (ann-l)xn = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

= .

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - lE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.

Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,

3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,

x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

~ ~ .

Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,

- 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,

- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,

откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.

Решение.

Данной системе соответствует матрица`А=. Имеем `А ~ ~ , следовательно, исходная система равносильна такой:

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

a1 = (1, 1, 4, 2),

a2 = (1, -1, -2, 4),

a3 = (0, 2, 6, -2),

a4 = (-3, -1, 3, 4),

a5 = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля (см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

x1 + x2 - 3x4 - x5 = 0,

x1 - x2 + 2x3 - x4 = 0,

4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0,

2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

~~ ~

~ ~ ~ .

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

x1 + x2 - 3x4 = x5,

-2x2 + 2x4 = -2x3 - x5,

- 3x4 = - x5.

Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3, x1 = 7/6 x5 -x3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 = 6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6 и мы получим соотношение

6a1 + 6a2 + a3 + 2a4 + 6a5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

A = .

Решение. Вычислим определитель матрицы A - lE:

= det= det

Итак, = (l - 2)2 × (l+2)2. Корни характеристического уравнения =0 - это числа l1 = 2 и l2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

x1 - x2 = 0, x1 - x2 = 0,

x1 - x2 = 0, Þ 3x2 -7x3 - 3x4 = 0,

3x1 - 7x3 - 3x4 = 0, 5x3 + x4 = 0.

4x1 - x2 + 3x3 - x4 = 0,

Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем:

A - lE = A +2E = ~ ,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

x1+3x2 = 0,

x2 = 0,

x3+x4= 0.

Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.

5.6 Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач

Пример 2.20. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип	Способ раскроя
заготовки	1	2	3
А	3	2	1
Б	1	6	2
В	4	1	5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

x + 6y +2z = 300

4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

~ ~ ~ ~ ~ ~ .

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

x + 6y +2z = 300,

2y +9z = 570,

-67z = - 4020.

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Пример 2.21. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x i j количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

x 11 + x 12 = 6000, (5.7)

где x 11, x 12 - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

x2 1 + x22 = 4000. (5.8)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x 31 = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

x 32 =3000. (5.9)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

x 11 + x 21 = 8000. (5.10)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

4,3x 11 + 7,8 x 12 + 5,25 x 21 + 6,4x 22 + 3,25x 32 = 58850. (5.11)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) - (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:

4,3x 11 + 7,8x 12 +5,25x 21 +6,4x 22 = 49100,

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x 11, x 12, x 21, x 22, расширенная матрица которой имеет вид:

`A = .

Преобразуем ее к треугольному виду:

`A ~ ~ ~ ~ ~ .

Наша система равносильна следующей:

x 11 + x 12 = 6000,

- x 12 + x 21 = 2000,

x 21 + x 22 = 4000,

-2,35 x 22 = - 4700,

откуда x 22 = 2000, x 21 = 2000, x 12 = 0, x 11 = 6000.

Пример 2.22.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Изделие	Выход из единицы сырья
	I	II	III	IV
А	2	1	7	4
Б	6	12	2	3

Решение. Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

x1 + x2 + x3 + x4 = 94,

2x1 + x2 + 7x3 + 4x4 = 574,

6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328.

Решаем ее методом Гаусса:

~ ~ .

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x4 - свободное. Исходная система равносильна следующей:

x1 + x2 + x3 = 94 - x4,

- x2 + 5x3 = 386 - 2x4,

26x3 = 2080- 9x4.

Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = - 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

Пример 2.23. Математическая модель межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:

, (5.12)

или, в матричной форме,

AX + Y = X, (5.13)

где А = (a i j) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.

Перепишем систему (5.13) в виде

(E - A) X = Y, (5.14)

где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

X = (E - A) -1 Y. (5.15)

Здесь (E - A) -1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b i j матрицы (E - A) -1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x i в виде функций планируемых значений y j конечных продуктов отраслей:

Пример 2.24. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

A = ;

Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.

E - A = ,

значит,

Y= .

Пример 2.25. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

A=.

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

или

(0,125 -l)2 - 0,140625 = 0 Þ 0,125 - l = ± 0,375.

Следовательно, l1 = 0,5; l2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E - A) -1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы

E - A=.

Обозначим B = E-A, тогда .

Следовательно,

X = .

III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

6. Предел функции

6.1 Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

êxn - a ê < e. (6.1)

Записывают это следующим образом: или xn ® a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- e < xn < a + e, (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для всякой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(xn)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x, лежащих в d-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d“.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде

f(x) = A. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

f(x) = ¥ (f(x) = - ¥).

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы f(x)=A, g(x)=B, то

(f(x)+(g(x)) = A + B, (6.4)

f(x) g(x) = AB, (6.5)

f(x)/g(x) = A/B (B ¹ 0). (6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

(f(x))a = ( f(x)) a, где a = const, (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

bf(x) =bA, где b = const, f(x)=A; (6.8)

logc f(x) = logc f(x), где c = const. (6.9)

Теорема 3. = 1, = 1, a = const, a >0,

= 1, (6.10)

(1 + a)1/ a = e, (6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

= logc e, (6.12)

(aa - 1)/a = ln a, (6.13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (6.14)

в частности,

= 1.

Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x®a и при этом x<a, то пишут x®a-0. Числа и называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо и достаточно, чтобы =.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = xo функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(xo)= f(0) не определено, поэтому в точке xo = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo, если

и непрерывной слева в точке xo, если

Непрерывность функции в точке xo равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(xo). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если существует и не равен f(xo), то говорят, что функция f(x) в точке xo имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке xo функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x® +0 имеет предел, равный +¥, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я.И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10)10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100)100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000)1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ xn -1 ½<e.

Возьмем любое e >0. Так как ½ xn -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<e. Отсюда n>1/e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что xn = 1.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5