Высшая математика для менеджеров

Из анализа таблицы нелегко обнаружить наличие и характер зависимости между x и y. Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки, взятые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить,что между x и y существует линейная зависимость`y= ax+b, где a и b - коэффициенты, подлежащие определению,`y - теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”, можно графически найти b и a=tg a, однако это будут весьма неточные результаты. Для нахождения a, b применяют метод наименьших квадратов.

Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b -`y=0. Точки, построенные на основе опытных данных, вообще говоря, не лежат на этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x и`y заданные величины xi и yi, то окажется, что левая часть уравнения равна какой-то малой величине ei=`yi -yi; а именно: для первой точки ax1 + b - y1 = e1, для второй - ax2 + b - y2 = e2, для последней - axn + b - yn = en. Величины e1, e2,..., en, не равные нулю, называются погрешностями. Геометрически это разность между ординатой точки на прямой и ординатой опытной точки с той же абсциссой. Погрешности зависят от выбранного положения прямой, т.е. от a и b. Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u =  была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим в выражение для u вместо ei их значения.

u = (ax1 + b - y1) 2 + (ax2 + b - y2) 2 +... + ( axn + b - yn)2, или u = u(a,b),

где xi, yi известные величины, a и b - неизвестные, подлежащие определению. Выберем a и b так, чтобы u(a,b) имело наименьшее значение. Необходимые условия экстремума , . Имеем: = 2(ax1 + b - y1)x1 +... +2 (ax1 + b - y1)xn, = 2(ax1 + b - y1) +... + + 2 (ax1 + b - y1). Получаем систему:

.

Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическую формулу `y = ax + b. Пусть теперь точки на графике располагаются вблизи некоторой параболы так, что между x и y можно предположить квадратичную зависимость:`y=ax2 + bx + c, тогда  . Тогда u =  =  . Здесь u = u(a, b, c) - функция трех независимых переменных a, b, c. Необходимые условия экстремума , ,  в этом случае примут следующий вид:

.

Получили нормальные уравнения способа наименьших квадратов для квадратичной зависимости `y = ax2 + bx + c, коэффициенты которой находим, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Отыскание уравнения прямой по эмпирическим данным называется выравниванием по прямой, а отыскание уравнения параболы - выравниванием по параболе. В экономических расчетах могут встретиться также и другие функции. Довольно часто встречаются эмпирические формулы, выражающие обратно пропорциональную зависимость, графически изображаемую гиперболой. Тогда говорят о выравнивании по гиперболе и т.д.

Метод наименьших квадратов оказывается весьма эффективным при исследовании качества промышленной продукции в зависимости от определяющих его факторов на основе статистических данных текущего контроля качества продукции, в задачах моделирования потребительского спроса.

Пример 3.29. Темпы роста y производительности труда по годам в промышленности республики приведены в таблице.

Предполагая, что зависимость y от x линейная: y = ax + b, найти a и b.

Решение. Вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений: .

Следовательно, имеем систему, решая которую, получим: a » 15,93; b » 110,57. Итак, получили уравнение искомой прямой: y = 15,93x + 110,57.

8. Интегралы

8.1 Основные методы интегрирования

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F¢ (x) = f(x).                                        (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -

ò f(x) dx.

Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то

ò f(x)dx = F(x) + C,                                    (8.2)

где С - произвольная постоянная.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d ò f(x)=f(x)dx,

2) ò df(x)=f(x)+C,

3) ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const),

4) ò(f(x)+g(x))dx= ò f(x)dx+ ò g(x)dx.

Список табличных интегралов

1. ò xm dx = xm+1/(m + 1) +C (m ¹ -1).

2.= ln êx ê +C.

3. ò ax dx = ax/ln a + C (a>0, a¹1).

4. ò ex dx = ex + C.

5. ò sin x dx = cos x + C.

6. ò cos x dx = - sin x + C.

7. = arctg x + C.

8. = arcsin x + C.

9. = tg x + C.

10. = - ctg x + C.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z=g(x) имеет на [a,b] непрерывную производную и a £ g(x) £b, то

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(z) dz,                          (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2).

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

ò udv = uv - ò vdu.         (8.4)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

ò xk lnmx dx, ò xk sin bx dx, ò xk cos bx dx, ò xk e ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 <...<xn = b. Из каждого интервала (xi-1, xi) возьмем произвольную точку xi и составим сумму f(xi)D xi, где D xi = xi - xi-1. Сумма вида f(xi)D xi называется интегральной суммой, а ее предел при l = max D xi ®0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

 f(xi)D xi.        (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, kÎR);

5) ;

6) ;

7) f(x)(b-a) (xÎ[a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

ò f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

 F(b) - F(a).     (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл  представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

.    (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то  называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+¥), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+¥). В противном случае про интеграл  говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-¥, b] и (-¥, +¥):

.

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

,

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

 = .                       (8.8)

Пример 3.30. Вычислить ò dx/(x+2).

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, ò dx/(x+2) = ò dt/t = lnïtï+C = = lnïx+2ï+C.

Пример 3.31. Найти ò tg x dx.

Решение. ò tg x dx = ò sin x/cos x dx = - ò d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда ò tg x dx = - ò dt/t = - lnïtï+C = - lnïcos xï+C.

Пример 3.32. Найти ò dx/sin x.

Решение.

Пример 3.33. Найти .

Решение.  =  

Пример 3.34. Найти ò arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда ò arctg x dx = x arctg x - ò x dx/(x2+1) = x arctg x + 1/2 ln(x2+1) +C; так как ò x dx/(x2+1) = 1/2 ò d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.

Пример 3.35. Вычислить ò ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим: u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ò ln x dx = x lnx - ò x 1/x dx = = x lnx - ò dx = x lnx - x + C.

Пример 3.36. Вычислить ò ex sin x dx.

Решение. Обозначим u = ex, dv = sin x dx, тогда du = ex dx, v=ò sin x dx= - cos x Þ ò ex sin x dx = - ex cos x + ò ex cos x dx. Интеграл ò ex cos x dx также интегрируем по частям: u = ex, dv = cos x dx Þ du=exdx, v=sin x. Имеем: ò ex cos x dx = ex sin x - ò ex sin x dx. Получили соотношение ò ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x - ò ex sin x dx, откуда 2 ò ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ò cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ò cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J = ò cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример 3.38. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что  = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 3.39. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому = = =.

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) =  > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) =  имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример 3.41. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) =  += ;

= = .

8.2Использование интегралов в экономических расчетах

Пример 3.42. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой

V =.

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример 3.43. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =.

Пример 3.44. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d t = f(t), тогда наращенная сумма находится как

S = P exр  d t dt,

а современная величина платежа P = S exр(- d t dt).

Если, в чаcтности, d t является линейной функцией времени: d t = d o + at, где d o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то

d t dt =  (d o + at)dt = d o n + an2/2;

множитель наращения exр(d o n + an2/2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d t = d o at, где d o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда

d t dt = d o at dt = d o at /lna= d o(an -1)/lna;

множитель наращения exр(d o(an -1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,25-1) / ln1,2) » » exр 0,653953 » 1,921397.

Пример 3.45. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией R t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: Rt = Ro + at, где Ro - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A1 = , A2 = .

Имеем: A1 =  = - Ro/dê= - Ro/d(-eo) = - Ro/d(-1) = = Ro(-1)/d. A2 = . Вычислим неопределенный интеграл  по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v =  = - /d, тогда = - t/d + 1/d = - t/d (t+1/d) +C. Следовательно, A2 = -a t/d (t+1/d)ê= ((1- )/d - n)a/d.

Итак, исходный интеграл

A = A1 + A2 = Ro(-1)/d + ((1- )/d - n)a/d.

9. Дифференциальные уравнения

При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если

y¢ = f(x),

или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой

y = ò f(x)dx

и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Однако на практике значительно чаще встречается гораздо более сложная задача: найти функцию y, если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида

F(x, y, y¢, y¢¢,..., y(n)) = 0.       (9.1)

Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно, называются дифференциальными уравнениями.

В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Например:

                            y¢ - x2y + x3 = 0 - уравнение первого порядка,

                            y¢¢ + 4y¢ + cos x = 0 - уравнение второго порядка,

                            x y(5) + yy¢¢¢ = 1 - уравнение пятого порядка и т. д.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с1, с2,..., cn и имеет вид

y = j(x, с1, с2,..., cn).

Если соотношение, связывающее x, y и n произвольных постоянных, получено в виде, не разрешенном относительно y -

Ф(x, y, с1, с2,..., cn) = 0,

то будем называть такое соотношение общим интегралом уравнения (9.1).

В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с1, с2,..., cn придают конкретные числовые значения.

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n-го порядка - от n произвольных постоянных.

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение для уравнения n-го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

y(xo) = yo, y¢(xo) = yo¢,..., y(n-1)(xo) = yo(n-1),

по которым определяются n постоянных с1, с2,..., cn. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет общий вид

F(x, y, y¢) = 0,

или вид, разрешенный относительно y¢:

y¢ = f(x, y).

Пример 3.46. Найти общее решение уравнения y¢ = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = ò 3x dx, y = 3x2/2 + C,

где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

y = 3x2/2 (С= 0),

y = 3x2/2 + 5 (С = 5)

и т.д.

Пример 3.47. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo обозначает начальную денежную сумму, а Yx - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Yx+1 = (1+r)Yx,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Yx+1/2 = (1 + r/2)Yx,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Yx+1/n = (1 + r/n)Yx,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:

.

Неограниченно увеличивая n (при n®¥, h®0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Yx - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Yx = e r x+C, или Yx = P e r x, где через P обозначено eC.

Учитывая начальное условие Y(0) = Yo, найдем P: Yo = Peo, следовательно, Yo = P. Решение имеет вид:

Yx =Yo e r x.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пример 3.48. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая начальные условия, Y= Yo e k t. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qYo e k t. Общее решение этого уравнения имеет вид D = (q/ k) Yo e k t +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,

D = Do+(q/ k)Yo (e k t -1),

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является уравнение

y(n) = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.

Пример 3.49. Решить уравнение y¢¢¢ = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

y¢¢ = ò cos x dx = sin x + C1,

y¢ = ò (sin x + C1)dx = - cos x + C1x + С2,

y = ò (- cos x + C1x +C2)dx = - sin x + C1x2/2 +C2x+C3.

Итак, общее решение

y = - sin x + C1x2/2 +C2x+C3.

В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид:

рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y¢(x) + рn(x)y(x) = f(x),  (9.2)

где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y¢(x) + рn(x)y(x) = 0.        (9.3)

Если коэффициенты рo(x), р1(x),..., рn(x) постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:

рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y¢(x) + рny(x) = f(x)     (9.4)

и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:

рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y¢(x) + рny(x) = 0.       (9.5)

Без ограничения общности можно положить рo = 1 и записать уравнение (9.5) в виде

y(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y¢(x) + рny(x) = 0.             (9.6)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e kx, где k - постоянная. Имеем: y¢ = ke kx, y¢¢ = k2 e kx,..., y(n) = kn e kx. Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:

e kx (kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn) = 0.

Т.к. e kx ¹ 0, то

kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn = 0.    (9.7)

Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k1, k2,..., kn - действительные и различные корни уравнения (9.7), то - частные решения уравнения (9.7), а общее имеет вид

y = .

Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y¢¢ + рy¢ +qy = 0.                   (9.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид

k2 + рk + q=0                (9.9)

и в зависимости от значения дискриминанта D = р2 - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k1 и k2 уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:

y = c1 exр(k1x) + c2 exр(k2x).

2. Если D = 0, т.е. корни k1 и k2 действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c1 + c2x) exр (k1x).

3. Если D<0, то корни комплексные, k1 = a + bi, k2 = a - bi, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково:

y = (c1 cos bx+c2 sin bx) exр (ax).

Пример 3.50. Решить уравнение y¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны. Общее решение:

y = c1e x + c2e -x.

Пример 3.51. Найти общее решение уравнения y¢¢- 4y¢ + 4y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде: k2 -4k +4 = 0 или (k - 2)2 = 0, т.е. имеет равные корни k1= k2 =2, значит, общее решение данного уравнения находится по формуле:

y = e2x(c1+c2x).

Пример 3.52. Найти общее решение уравнения y¢¢+9y = 0.

Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k2+9 = 0, откуда k = ±3i, Þ a = 0, b = 3, значит, общее решение имеет вид:

y = c1 cos 3x + c2 sin 3x.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. о паутинообразной модели в параграфе 10). Если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

D = a +aP, S =b+bP,

а l есть постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:

+ l (b - a) P = l (a - b).

В качестве частного решения можно взять постоянную

P =`P = (a - b)/(b - a),

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р = P -`P удовлетворяет тогда однородному уравнению

+ l (b - a) р = 0.                               (9.10)

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение, в котором неизвестная обозначена через k, будет следующее:

k2 + l (b - a) = 0.

В обычном случае (a<0, b>0, l>0) член l (b - a) положителен. Введем обозначение w =. Тогда корни характеристического уравнения будут k 1,2 = ± i w. Следовательно, общее решение уравнения (9.10) имеет вид:

р = C cos (wt-e),

где C и e представляют собой произвольные постоянные, которые определяются единственным образом, если заданы начальные условия. Следовательно, присоединив `P, получим закон изменения цены во времени:

P = `P+ C cos (wt-e).

10. Разностные уравнения

На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Yx, представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x. Пусть сумма Yo положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Yx. Мы получаем

Yx = (1+r)Yx-1.

Если начальная сумма составляет Yo, мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию Yx = Yo при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Yx и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Yx-1; в данном случае аргумент x явно не входит в разностное уравнение.

Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента x, но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x, то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1, x+2,... и в обратном направлении: x, x-1, x-2,.... Соответствующие значения функции будем обозначать Yx,Yx+1,Yx+2,... или Yx, Yx-1, Yx-2,.... Определим так называемые разности различных порядков функции Yx с помощью следующих формул:

Разности первого порядка

D Yx = Yx+1 - Yx,

D Yx+1 =Yx+2 - Yx+1,

DYx+2 = Yx+3 - Yx+2,

 ...  ...  ...  ...  ...

Разности второго порядка

D2Yx= DYx+1 - D Yx,

D2Yx+1= D Yx+2 - DYx+1,

D2Yx+2= D Yx+3 - DYx+2,

  ...  ...  ...  ...  ...

Разности третьего порядка

D3Yx= D2Yx+1 - D2Yx,

D3Yx+1= D2Yx+2 - D2Yx+1,

  ...  ...  ...  ...  ...

Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x, его функцииYx и разностей различных порядков этой функции DYx, D2Yx, D3Yx,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:

j(x, Yx, DYx, D2Yx D3Yx, DnYx) = 0,                    (10.1)

которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.

Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Разностное уравнение (10.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить DYx, D2Yx, D3Yx,... через Yx, Yx+1, Yx+2,.... Уравнение (10.1) можно привести к одной из двух форм:

y(x, Yx, Yx+1,...,Yx+n) = 0,       (10.2)

x(x, Yx, Yx-1,...,Yx-n) = 0.                   (10.3)

Общее дискретное решение Yx обыкновенного разностного уравнения n-го порядка представляет функцию x (x = 0, 1. 2,...), содержащую ровно n произвольных постоянных:

Yx = Y(x, C1, C2,..., Cn).

Паутинообразная модель. Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими функциями спроса и предложения:

D = D(P), S = S(P).

Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или

D(P) = S(P).

Цена равновесия `P задается этим уравнением (которое может иметь множество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через `X, - следующим уравнением:

`X = D (`P) = S(`P).

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на один интервал:

Dt = D (Pt) и St = S (Pt-1).

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие модели таково: при заданном Pt-1 предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S (Pt-1), и величина Pt должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, Pt и объем покупок-продаж Xt характеризуются уравнением:

Xt = D (Pt) = S (Pt-1).

Итак, зная исходную цену Po, с помощью этих уравнений мы можем получить значения P1 и X1. Затем, используя имеющуюся цену P1, из соответствующих уравнений получим значения P2 и X2 и т.д. В общем изменение Pt характеризуется разностным уравнением первого порядка (одноинтер­вальное отставание):

D (Pt) = S (Pt-1).

Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, где D и S - соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями `P и `X) соответствует точке их пересечения Q. Цена в начальный момент времени равна Po. Соответствующая точка Qo на кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенный объем товара раскупается при цене P1, заданной точкой Q1 на кривой D с той же ординатой (X1), что и Qo. Во второй период времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q1 к точке на кривой S, дающей X2, а затем по горизонтали - к точке Q2 на кривой D. Последняя точка характеризует P2. Продолжение этого процесса и дает график паутины, показанный на рис. 5. Цены и объемы (покупок - продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q1, Q2, Q3,... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены Pt стремятся к `P, располагаясь поочередно по обе стороны от`P. Точно так же обстоит дело и с объемами покупок - продаж (X t).

Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = a +aP, S = b +bP. Значения равновесия `P и `X будут заданы уравнениями

`X = a +a`P = b +b`P,

то есть

`P = (a - b)/(b - a), `X = (ba - ab)/(b - a).           (10.4)

Дискретная динамическая модель задается уравнением

X t = a +aP t = b +bP t-1.          (10.5)

Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим P t = `P, X t = `X для всех значений t:

`X = a +a`P = b +b`P.          (10.6)

Получаем те же значения `P и `X, что и в (10.4). Следовательно, если в каком-либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (10.5) они сохранятся и в последующих периодах.

Вычтем уравнение (10.6) из (10.5) и положим р t = P t -`P, x t = X t -`X. Тогда

x t = aр t = bр t-1.   (10.7)

Уравнения (10.7) аналогичны (10.5), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c = b/a и подставим его в уравнение (10.7), так что разностное уравнение относительно р t будет

р t = c р t-1.            (10.8)

При данном значении р o в момент t = 0 из (10.8) получаем решение:

р t = рo c t,

или

P t = `P + (Po - `P) c t.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

2. Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М.: Просвещение, 1995.

3. Белинский В. А., Калихман В. А., Майстров Л. Е., Митькин А. М. Высшая математика с основами математической статистики. М.: Высшая школа, 1965.

4. Высшая математика: Общий курс / Под ред. А. И. Яблонского. Минск: Вышейш. школа, 1993.

5. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио, 1972.

6. Макконелл К., Брю С. Экономикс: принципы, проблемы, политика. М.: Республика, 1992. Т. 1-2.

7. Математика и кибернетика в экономике: Словарь - справочник / Под ред. Н. П. Федоренко. М.: Экономика, 1975.

8. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

9. Рублев А. Н. Линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1968.

10. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. пособие / А. В. Кузнецов, Д. С. Кузнецова, Е. И. Шилкина и др. - Минск: Вышейш. шк., 1994.

11. Сборник задач по математическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость / Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин; Под ред. Л. Д. Кудрявцева. - М.: Наука, 1984.

12. Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Минск: Вышейш. школа, 1968.

13. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. М.: Наука, 1968. Т. 1-2.

14. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, Business Речь, 1992.

15. Шипачев В. С. Основы высшей математики / Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Высш. шк., 1994.

16. Mathematische Proрadeutik fur Wirtshaftswissenschaftler / W. Wetzel, Н. Skarabis, P. Naeve, Н. Buening. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1981.

17. Mathematik fur Wirtshafts-Kaufleute / E. Forster, Н. Korth. Munchen: Wilhelm Нeyne Verlag, 1976.

ОГЛАВЛЕНИЕ

[