Финансовые расчеты

цены акции.

В операции с покупкой акций на срок используются следующие параметры:

. St - рыночная цена акции;

. Smin - минимальная цена акции в приказе брокеру на продажу;

. Smax - максимальная цена акции в приказе брокеру на продажу;

. M - количество покупаемых акций;

. T - продолжительность операции;

. t* - случайное время до момента продажи акций, t*[pic](0,T];

. Divt - накопленная на момент времени t сумма дивидендов на одну акцию.

Начальные затраты инвестора на покупку M акций начальной стоимости S0

составляют

| |Loss=M S0; |(3) |

сумма, полученная инвестором после продажи акций:

| |[pic] |(4) |

прибыли/убытки, полученные инвестором после продажи акций:

| |[pic] |(5)|

Для того, чтобы оценить меру эффективности финансовой операции, ее можно

сравнить с вложением начальной суммы затрат под безрисковые проценты, т.е.

оценить эффективную доходность сделки для простой или сложной процентной

ставки. В более точной формуле прибылей/убытков необходимо учитывать

расходы инвестора на комиссионные брокеру и операционные издержки.

Расчеты

|Пример 4.4. Инвестор 05.04.96 купил|

|100000 акций РАО "ЕЭС" по цене |

|$0.032 за акцию, а 04.07.96 продал |

|их по цене $0.103. Начальные |

|расходы составили $3200, а прибыль |

|от операции купли-продажи |

|продолжительностью в 3 месяца |

|составила $7100. |

[pic]

На начало

Покупка акций на срок с маржей

Если инвестор зарекомендовал себя надежным и платежеспособным клиентом у

брокера по сделкам с маржей, то он может взять у него ссуду на покупку

акций на определенный срок, по окончании которого акции продаются, а долг

возвращается. Заметим, что банкам не разрешается, в отличие от брокеров,

давать деньги в долг на покупку акций. Существует так называемое "Правило-

Т" - распоряжение Совета управляющих Федеральной резервной системы США,

которое регулирует пределы кредитов брокеров клиентам на покупку акций с

маржей и размеры платежей клиентов для финансирования этого типа сделок. В

настоящее время принято, что занимаемая сумма не должна превышать 50% от

общей стоимости покупаемых акций. Акции клиента будут находиться в

распоряжении брокера и являются залогом (маржей), гарантирующим возврат

долга.

Сделки с маржей прежде всего предназначены для получения спекулятивной

прибыли. В случае благоприятного движения цены акции инвестор может

получить гораздо большую доходность от такой сделки, чем при покупке акций

только на свои деньги, однако и риск понести большие убытки возрастает

пропорционально количеству долга, который придется возвращать при любом

исходе. При резком падении цены купленных акций брокер может потребовать от

инвестора внесения дополнительной маржи, в противном случае он имеет право

продать все или часть акций. Биржа может запретить все сделки с маржей в

периоды повышенной спекулятивной активности.

В сделках с маржей используются все параметры, присущие обычной покупке

акций на срок, а также дополнительно задаются:

. M% - процент от общего количества купленных акций, принадлежащих

инвестору;

. D% - ссудный процент на взятую в долг сумму.

Начальные затраты инвестора составляют

| |[pic] |(6|

| | |) |

сумма, полученная инвестором по окончании сделки после возврата долга:

| |[pic] |(7|

| | |) |

прибыли/убытки по окончании сделки:

| |[pic] |(|

| | |8|

| | |)|

[pic]

На начало

Продажа акций на срок без покрытия

Спекулянты на бирже осуществляют с акциями самые разнообразные сделки, в

том числе короткую продажу или, другими словами, продажу на срок без

покрытия. Сделка рассчитана на понижение цены акции и заключается в том,

что спекулянт сначала продает акции, которые предварительно занял у

брокера, а затем через некоторое время покупает их назад, как он надеется,

по более низкой цене и возвращает долг. Фактически, спекулянт продает то,

чего не имеет. Спекулянт в обязательном порядке вносит маржу, а его

отношения с брокером могут быть за процент, на равных или за премию. При

снижении курса акции может возникнуть дополнительное требование маржи,

которое вынудит спекулянта преждевременно закрыть короткую позицию, даже

если еще имеются шансы на прибыль. При расчете прибылей/убытков от короткой

продажи используются те же параметры, что и при обычной покупке акций на

срок, только изменена последовательность операции купли-продажи. Спекулянт

может коротко продать свои собственные акции, однако эта сделка не принесет

ему прибыли, а послужит средством страхования его портфеля от курсового

риска. Обратная покупка акций производится по альтернативному приказу

брокеру. Если предельная цена не достигается в течение всего срока займа,

то покупка акций производится по рыночной цене в день окончания займа.

Начальные затраты спекулянта составляют (без учета маржи)

| |Loss=M Proc |(9) |

прибыли/ убытки, полученные спекулянтом по окончании сделки в момент

времени t*:

| |[pic] |(10) |

Здесь Proc либо премия, либо проценты брокеру за одну взятую в долг акцию,

M - число взятых в долг акций. Потенциальные убытки от короткой продажи

акций неограниченны.

|Пример 4.5. Клиент занимает у |

|брокера 1000 акций и продает их по |

|цене $110 за акцию. Если цена акции|

|упадет до $85, то клиент получит |

|прибыль $25000. Но если цена акции |

|возрастет до $125, то убытки |

|клиента превысят $15000, которых |

|может не оказаться в нужный момент.|

[pic]

На начало

Экономический, отраслевой и фундаментальный анализ акций

Анализ акций - это процесс сбора и обработки информации для определения

стоимости одной обыкновенной акции. Традиционный анализ акций обычно

предусматривает подход "сверху вниз", начинающийся с экономического анализа

(общее состояние экономики и ее потенциальное воздействие на доходы,

получаемые по акциям), а затем переходящий к анализу состояния отрасли и,

наконец, к фундаментальному анализу положения компании - эмитента акции.

Экономический анализ заключается в выделении и оценке каждого фактора,

влияющего на спрос и предложение на рынке акций. Оцениваются гибкость

спроса и предложения, состояние экономики страны, выявляются внешние

факторы, определяющие спрос или предложение на конкретный актив, например,

цены на нефть, политические события в мире, войны, девальвация одной валюты

относительно другой, общий уровень цен, доступность кредита.

Одними из наиболее важных инструментов фундаментального анализа являются

кредитный и инвестиционный анализ, основанные на расчете всевозможных

отношений типа P/E Ratio. Специалист по фундаментальному анализу при

изучении финансового состояния эмитента основывается главным образом на

двух типах бизнес-информации:

. на балансовом отчете, включающем сведения об активах, денежных

обязательствах и о собственном капитале компании-эмитента на

конкретный день года;

. на счете прибылей и убытков компании, где указывается сумма и источник

дохода компании и издержки, вовлеченные в получение этого дохода.

Метод оценки стоимости компании - эмитента может исходить из постулата, что

стоимость предприятия определяется в зависимости от ожидаемого дохода за

период функционирования компании по сравнению с возможностью помещения

инвестиций в менее рискованные финансовые инструменты, например, в

банковские депозиты.

При фундаментальном анализе старых акций обычно оценивают следующие

характеристики:

. прибыль на акцию;

. дивиденды и их динамику;

. доход компании, ее финансовое положение и перспективы;

. динамику рыночной цены акции;

. налоговый статус;

. механизм регистрации и передачи прав собственности;

. доступность и прозрачность информации;

. накладные расходы при операциях с акциями;

. ликвидность.

Одними из наиболее рискованных считаются сделки с новыми акциями. Из-за

отсутствия данных наблюдений за рыночной ценой новой акции ее анализ

сводится к анализу дел компании, выпустившей эти акции, к доходности

компании и вероятности ее роста, к качеству руководства компанией, к

исследованию спроса и предложения как на рынке акций, так и на рынке

продукции, производимой компанией, к прогнозу возможной прибыли компании и

стабильности этой прибыли. Новые акции обычно имеют небольшую стоимость

именно в силу своей новизны, однако в случае удачной покупки доходность от

сделки может быть очень высокой. При покупке новой акции важно уметь

правильно оценить ее книжную стоимость. При покупке обыкновенных акций

также следует учитывать количество привилегированных акций и облигаций,

выпущенных этой компанией.

Анализ факторов, влияющих на рыночные цены корпоративных акций, торгуемых в

Российской Торговой Системе в 1996-1997 году, показал высокую

чувствительность рынка акций к таким событиям как выборы президента,

назначение и увольнение высоких государственных чиновников, здоровье

президента, стабильность политической обстановки в стране, слухи и домыслы

и т.д. В настоящих условиях в России возможность собрать информацию и

провести действительно комплексные фундаментальные исследования практически

отсутствует.

При извлечении прибыли за счет краткосрочных колебаний курсов акций

фундаментальный анализ компаний-эмитентов теряет свою актуальность и в этой

ситуации предпочтительнее выглядит технический анализ.

[pic]

На начало Смотри еще про технический анализ

Технический анализ акций

Технический анализ исходит из постулата, что все объективные данные о

компании-эмитенте (запасы сырья, ожидаемые дивиденды, экономическое

состояние и т.д.) уже заложены в текущую цену акции. Поэтому полагается,

что динамика рыночной стоимости акции не является непосредственной реакцией

на текущие события, а зависит только от оценки этих событий участниками

рынка.

Технический анализ заключается в исследовании предыдущих движений цен с

целью определить их движение в будущем. На основе графиков, которые

отражают поведение цен, специалист технического анализа надеется определить

вновь появляющуюся модель, спроектировать ее в последующую тенденцию и

использовать эту тенденцию для торговли на рынке. Самая важная информация,

используемая в графиках, включает цены, объем торговли и число открытых

позиций (для фьючерсных и опционных рынков).

Под объемом торговли понимается общее количество заключенных сделок по

конкретной ценной бумаге в течение торгового дня. Считается, что объем

торговли должен повышаться в направлении главного тренда цены и понижаться

в направлении корректирующего. При увеличении объема текущий тренд

подтверждается, а при уменьшении объема становится возможным разворот

тренда на противоположный.

Для графического изображения информации о рынке используются линейные

графики, гистограммы, крестики- нолики, японские свечи и столбиковые

диаграммы. Например, сигналы о развороте тренда дают свечи с "малыми

телами", которые показывают признаки нерешительности в поведении участников

рынка. Свечи типа "зонтиков" обычно сигнализируют о развороте и встречаются

чаще всего в момент изменения тренда.

Технический анализ позволяет выделить несколько стадий развития цены акции:

. Повышательный тренд, характеризующийся непрерывным ростом во времени

минимальных цен сделок;

. Понижательный тренд, отличающийся непрерывным снижением во времени

максимальных цен сделок;

. Переходные процессы, возникающие при смене трендов и характеризующиеся

возникновением типовых фигур типа "блюдце", "двойной горб" или "голова

и плечи" и т.д.

В техническом анализе используются понятия уровней сопротивления и

поддержки. При возрастании, достигнув уровня сопротивления, цена либо

начинает падать, либо останавливает свой рост. При спаде, достигнув уровня

поддержки, цена начинает возрастать. Чем большее количество раз тренд

наталкивается на уровень сопротивления или поддержки, будучи не в силах его

преодолеть, тем больше вероятность разворота тренда.

Закономерно повторяющимся в движениях рыночных цен фигурам даются

персональные имена и с ними связаны определенные суждения о поведении

рынка. Так при наличии четко выраженного тренда появление фигуры "голова и

плечи" является признаком разворота тренда. А при появлении фигуры

"треугольник" делается утверждение, что преимущественный тренд сохраняет

силу.

Важными инструментами технического анализа являются скользящие средние,

осцилляторы и волновые диаграммы, помогающие инвестору принимать решения о

купле-продаже акций.

Скользящие средние бывают трех типов:

1. Простые

[pic]

где K - число предыдущих дней (порядок скользящего среднего), Sk -

цена k-го торгового дня.

2. Взвешенные

[pic],

где xk - весовой множитель для цены k-го торгового дня (например,

xk=k).

3. Экспоненциальные

[pic]

Порядок скользящего среднего K определяет степень сглаживания цены: чем

больше K, тем сильнее сглаживание. Если линия скользящего среднего

находится ниже графика цены, то тренд цены является повышательным, а если

выше - то понижательным. При пересечении графика цены со скользящим средним

принимается окончательное решение, что тренд цены меняет направление.

Особенность осцилляторов в том, что они якобы предвосхищают будущие

события, сигнализируя о повороте тренда заранее. Осцилляторы бывают

следующих типов:

1. "Момент":

Mt = St - St-K,

где K - число дней задержки. Пересечение кривой момента с нулевым

уровнем служит сигналом к принятию торговых решений.

2. "Норма изменения":

[pic]

3. "Индекс относительной силы":

[pic]

где At-K - среднее значение закрывшихся выше предыдущих цен за K дней,

Bt-K - среднее значение закрывшихся ниже предыдущих цен за K дней.

Обычно задается K=14. Сигнал о продаже формируется при превышении

осциллятором уровня 70, а сигнал о покупке - при понижении за уровень

30.

4. "Стохастическая линия Лейна":

[pic]

где St - текущая цена закрытия, Lt-5 - самый низкий уровень цены за

последние 5 дней, Nt-5 - самый высокий уровень цены за последние 5

дней. Сигнал о торговле принимается по мере расхождения стохастической

линии с ценой и при пересечении уровней 30 и 70.

5. "Метод конвергенции - дивергенции (MACD)": осциллятор расчитывается

как разность K1-дневных и K2-дневных экспоненциальных скользящих

средних, с K10

означает, что фьючерсная цена контракта на покупку выше, чем контракта на

продажу. Будем полагать, что спрэд завершается одновременным закрытием

обеих открытых позиций оффсетной сделкой в некоторый будущий случайный

момент времени t*[pic](0,T] в соответствии с альтернативным приказом, если

разность фьючерсных цен выходит из интервала ([pic]min,[pic]max). Если же

за весь срок T контракта с ближайшим месяцем поставки разность фьючерсных

цен не выходит из этого интервала, то и короткая, и длинные открытые

позиции закрываются в последний день торговли при цене FTbuy и FTsell. При

такой стратегии прибыли/убытки инвестора вычисляются по формуле

[pic]

В данной стратегии при [pic]0>0 выигрыш инвестора достигается, если

разность фьючерсных цен растет, причем независимо от направления движения

фьючерсных цен. Закрытие позиций по альтернативному приказу брокеру

ограничивает убытки при резком падении разности фьючерсных цен и

обеспечивает гарантированный минимальный уровень прибыли при росте

разности. При [pic]0Kput, то его начальная прибыль после получения премий составляет

| |[pic] |(13) |

а прибыли/убытки расчитываются по формуле

| |[pic] |(14|

| | |) |

Стрэпом называется комбинация из одного опциона продажи и двух опционов

купли с одинаковыми или с разными ценами исполнения.

Стратегия используется, когда цена базисного актива должна с большей

вероятностью пойти вверх, чем вниз. Если инвестор покупает два опциона

купли и один опцион продажи с одинаковой ценой исполнения, то его

прибыли/убытки расчитываются по формуле

| |[pic] |(15)|

максимальные убытки составляют

| |[pic] |(16) |

Стрипом называется комбинация из одного опциона купли и двух опционов

продажи с одинаковыми или с разными ценами исполнения.

Стратегия расчитана на большую вероятность понижения цены базисного актива,

чем повышения. Если инвестор подписывает опцион купли и два опциона продажи

с ценами исполнения Kcall>Kput, то его начальная прибыль после получения

премий составляет

| |[pic] |(17) |

а прибыли/убытки расчитываются по формуле

| |[pic] |(18|

| | |) |

Спрэд - это портфель, состоящий из опционов одного типа на одни и те же

базисные активы, но с разными ценами исполнения и/или датами истечения

контрактов, причем одни из них являются длинными, а другие короткими.

Вертикальный спрэд объединяет опционы с одной и той же датой истечения

контрактов, но с различными ценами исполнения.

Горизонтальный спрэд состоит из опционов с одинаковыми ценами исполнения,

но с различными датами истечения контрактов.

Диагональный спрэд строится с помощью опционов с различными ценами

исполнения и с различными датами истечения контрактов.

Вертикальный спрэд быка заключается в приобретении опциона купли с более

низкой ценой исполнения и в продаже опциона купли с более высокой ценой

исполнения.

Стратегия расчитана на получение прибыли от повышения цены базисного актива

и страхует инвестора от понижения цены. Если инвестор покупает опцион купли

и подписывает опцион купли с ценами исполнения KbuyS0 и r2>r1.

Валютный риск связан со случайными значениями курса ST. Прибыли/убытки,

полученные арбитражером по окончании финансовой операции, вычисляются по

формуле

[pic]

Эквивалентным арбитражем называется покупка или продажа комбинаций опционов

и наличных позиций, когда между теоретически эквивалентными комбинациями на

практике возникает разница цен.

Например, комбинация длинной наличной позиции и опциона продажи создает

опцион купли, а комбинация короткой наличной позиции и опциона купли

создает опцион продажи. Действительно, при S0=K имеем

S0-ST+(ST-K)+=(K-ST)+.

Эквивалентный арбитраж обеспечивает соответствие цен опционов и цен

наличного базисного актива, а также поддерживает равновесные цены на

опционы купли и продажи. При любом t[pic][0,T] должна иметь место формула

паритета цен для опционов купли и продажи европейского стиля на один и тот

же базисный актив с одинаковой ценой исполнения:

[pic]

При нарушении паритета возникает арбитражная ситуация.

Простейшей арбитражной стратегией с фьючерсами является межрыночный

арбитраж, который может включать либо только фьючерсные контракты, либо

одновременные сделки на фьючерсном и на форвардном рынках. Около 30%

открытых позиций во фьючерсах на индекс акций FT-SE 100 на Лондонской

фьючерсной бирже используются в арбитражных операциях. Целый ряд финансовых

институтов, являющихся членами фьючерсных бирж в Чикаго и Лондоне,

используют свой персонал только для осуществления межрыночного арбитража с

процентными фьючерсными контрактами, базирующимися на срочных трехмесячных

депозитах с одной стороны и на облигациях казначейства США или наличных

срочных депозитах с другой стороны.

В декабре 1981 года на Чикагской фьючерсной бирже был введен фьючерсный

контракт, основанный на трехмесячном евродолларовом депозите размера

$1000000. Это фьючерсный контракт с расчетом за наличные, не

предусматривающий никакой поставки наличного финансового инструмента по

истечении контракта. В настоящее время одним из наиболее существенных

способов использования этого фьючерса является арбитраж между наличными и

фьючерсными позициями, путем создания синтетического инструмента,

названного "strip". Известно, что большинство торговцев евродолларовыми

фьючерсными контрактами с несколькими ближайшими кварталами поставки

посвятили себя реализации этой стратегии. "Strip" означает либо комбинацию

наличных депозитов и длинной позиции во фьючерсном контракте, либо кредита

и короткой позиции. Если Size - размер наличного депозита, rd - годовая

процентная ставка наличного депозита, M - размер фьючерсного контракта, T -

срок до поставки по фьючерсному контракту, Ft - фьючерсная цена, то

прибыли/убытки от "strip" рассчитываются либо по формуле

[pic]

если деньги даются в долг, либо по формуле

[pic]

если деньги занимаются. Такая торговля инициируется, если определено, что

торговец может рассчитывать на более высокую прибыль или меньшую плату за

кредит, чем в случае сделки, осуществляемой только на наличном денежном

рынке. Термин "strip" возник из практики использования двух или более

последовательных квартальных фьючерсных истечений в комбинации с долларовой

наличной позицией. Торговцы должны определить для себя, когда разница между

процентной ставкой "strip" и ставкой наличной сделки достаточна, чтобы

сделать такую торговлю заслуживающей внимания.

В случае одного депозита и одного фьючерсного контракта процентная годовая

ставка rstrip определяется из уравнения

[pic]

где rf - процентная ставка фьючерсного контракта.

Валютные фьючерсные контракты могут арбитражировать против спот-курса и

банковских депозитных ставок. Потенциальная прибыль от этого типа арбитража

относительно невосприимчива к движениям процентных ставок, но чувствительна

к малейшим изменениям валютных курсов.

Арбитраж между краткосрочными процентными фьючерсами и валютными фьючерсами

с одинаковыми сроками поставки не требует выхода на рынок наличности,

однако сложно подобрать нужное количество контрактов для получения полного

покрытия.

В более сложных межрыночных арбитражных сделках одновременно задействованы

наличные рынки валют и ценных бумаг, межбанковский рынок, рынок форвардов,

опционный рынок, рынок фьючерсных контрактов.

[pic]

На начало

Хеджирование

Хеджированием называется практика заключения на фьючерсной или опционной

бирже срочных сделок на продажу или покупку валюты или ценных бумаг для

страхования от предполагаемых в будущем колебаний цен или процентных

ставок.

Сущность хеджирования заключается в покупке или продаже фьючерсных или

опционных контрактов одновременно с продажей или покупкой базисного актива

с тем же сроком поставки, а затем проведения обратной операции с

наступлением дня поставки. Хеджирование способно оградить хеджера от

больших потерь, но в то же время либо полностью лишает его возможности

воспользоваться благоприятным развитием коньюктуры, либо снижает его

прибыль.

Хеджирование бывает полным или частичным. Полное хеджирование полностью

исключает риск потерь, частичное хеджирование осуществляет страховку только

в определенных пределах. Для хеджирования своей позиции инвестор должен

определить размер возможных расходов и необходимое число контрактов,

которое требуется купить или продать. Так как хеджирование является делом

дорогим и сложным, то требуется проведение большого объема вычислений при

оценке полных расходов на хеджирование и при сравнении альтернативных

способов хеджирования.

Хеджирование фьючерсным контрактом заключается в открытии временной позиции

на фьючерсном рынке, которая близка по параметрам и противоположна по сути

позиции инвестора на наличном рынке и защищает его от рыночного риска.

Хеджирование основывается на предположении о близком к параллельному

движениям наличной цены базисного актива и фьючерсной цены. Любая попытка

уменьшить риск потерь с помощью хеджирования фьючерсными контрактами должна

принимать во внимание отношение наличной цены базисного актива к фьючерсной

цене, определяющее прибыль или убытки от хеджа.

Финансовые фьючерсы служат удобным инструментом страхования для банков,

пенсионных фондов и других финансовых институтов по сравнению с

альтернативными способами хеджирования. В настоящее время существует

возможность открытия и закрытия фьючерсных позиций на биржах разных стран

мира. Этот "взаимный зачет" очень привлекателен для многих

многонациональных организаций, которые используют фьючерсные сделки для

ограничения риска на всемирной основе. Выигрыши/потери инвестора при

хеджировании фьючерсным контрактом характеризуются базисным риском, то есть

риском, связанным с разницей между наличной ценой базисного актива и

фьючерсной ценой в момент окончания хеджирования.

Традиционно имеются два существенных соображения при решении вопроса о том,

какой фьючерсный контракт лучше всего подходит для хеджирования в

конкретной ситуации - это соотношение между базисным риском и ликвидностью.

Пользование контрактами, предлагающими достаточную ликвидность, может

приводить к недопустимому базисному риску и наоборот.

К хеджированию продажей фьючерсного контракта инвестор прибегает, если в

будущем планирует продать некоторый актив, которым он владеет в настоящее

время или собирается его вскоре получить и хеджирование защищает от

возможного падения цены актива. Если инвестор собирается в будущем

приобрести какой-либо актив, он использует хеджирование покупкой

фьючерсного контракта и хеджирование защищает от роста цены актива.

Обычно открытые фьючерсные позиции закрываются путем оффсетной сделки до

даты поставки, так как большинство страхующихся при приближении этой даты

теряет необходимость в страховании, а торговля их базисными активами

производится на спотовом (наличном) рынке.

На практике хеджирование посредством фьючерсного контракта из-за его

сильной стандартизации не всегда может полностью исключить риск потерь, так

как актив, торгуемый на спотовом рынке, может несколько отличаться от

предмета фьючерсного контракта и сроки фьючерсного контракта могут не

полностью соответствовать срокам купли-продажи актива на спотовом рынке.

Общее правило выбора фьючерсного контракта по времени его истечения:

инвестор должен свести к минимуму время между окончанием хеджа и поставкой

по фьючерсному контракту. Месяц поставки должен располагаться позже

окончания хеджирования.

Распорядитель портфеля, имеющего большое количество акций в различных

компаниях, подвержен риску, что рынок в целом упадет (в смысле цен). Он в

состоянии снизить этот риск, продав фьючерсные контракты на индекс акций,

равные по стоимости наличной стоимости его портфеля. Если рынок упадет,

стоимость портфеля будет защищена, поскольку убытки будут компенсированы

прибылью на фьючерсном рынке. Аналогичным образом, если рынок поднимется,

то на фьючерсном рынке будут убытки, но они будут компенсированы

соответствующей прибылью в стоимости акций. Для организации хеджирования с

помощью индексного фьючерса необходимо предварительно определить часть

стоимости портфеля, для которой желательно хеджирование, и рассчитать

коэффициент [pic] портфеля, т.е. меру ожидаемого изменения в стоимости

портфеля в ответ на любые изменения индекса.

Основной довод для существования и роста рынка процентных фьючерсов

заключается в необходимости защиты займа от неблагоприятного движения

банковских процентных ставок. Сильная изменчивость процентных ставок

увеличивает финансовый риск бизнесменов. Держатель государственных

облигаций, ожидающий рост банковских процентных ставок или будущую

распродажу облигаций по сниженным ценам может продать фьючерсы на

государственные облигации, чтобы защитить себя от падения стоимости

облигаций. Торговый агент по денежному рынку, который намерен внести через

некоторое время определенное количество облигаций в качестве уплаты долга,

может купить облигационные фьючерсы для того, чтобы защитить себя от риска

снижения процентных ставок на оставшееся время до покупки облигаций.

Хеджирование с помощью валютных фьючерсов предназначено для уменьшения

риска потерь от неблагоприятного движения курсов валют. Необходимость

хеджирования от валютного риска в последнее время связана с включением в

многие портфели иностранных ценных бумаг. Хеджирование валютными фьючерсами

часто используется для страхования процентного арбитража от валютного

риска.

Покрытие валютного риска для процентных арбитражных операций считается

делом сложным и дорогостоящим и заключается в обратном обмене валюты по

фиксированному форвардному курсу, например, посредством валютного фьючерса.

Расчеты в покрытом процентном арбитраже заключаются в определении по двум

переменным третьей, где переменными являются две безрисковые процентные

ставки на каждую валюту, а также соотношение между двумя валютными курсами,

по одному на каждый срок поставки. Процентный арбитраж с фьючерсным

покрытием в рамках двух валют включает в себя следующие операции:

. перевод первой валюты во вторую по спот-курсу 1/S0:

[pic]

. продажа Kf валютных фьючерсных контрактов размера Mf по цене STf;

. хранение второй валюты на депозите:

[pic]

. получение арбитражером второй валюты по окончании срока депозита;

. закрытие фьючерсных позиций при расчетной цене ST;

. продажа второй валюты за первую по курсу ST:

[pic]

Здесь предполагается, что срок депозита и срок до поставки фьючерсного

контракта совпадают. На практике очень сложно полностью закрыть арбитраж с

использованием фьючерсных контрактов из-за их высокой стандартизации.

По большому счету арбитражисты не заинтерисованы в физической поставке и

будут стремиться закрыть позиции оффсетными сделками по мере того, как

рыночная ситуация позволит им реализовать свою прибыль подобным путем.

Закрытие фьючерсной позиции должно сопровождаться новыми компенсирующими

сделками на рынке наличности, чтобы сохранить прибыль от арбитража до

наступления срока расчетов по первоначальным сделкам, что опять потребует

расходов. Прибыли/убытки, полученные арбитражером по окончании хеджируемой

финансовой операции, вычисляются по формуле

[pic]

Допустим, инвестор планирует в будущий момент времени продать некоторый

актив и хочет застраховаться от падения его цены, продав соответствующее

число фьючерсных контрактов на этот базисный актив по текущей фьючерсной

цене. Начальные убытки инвестора составляют только комиссионные брокеру за

продажу фьючерсных контрактов, а наличный базисный актив может

использоваться в качестве маржи.

В этом хедже прибыли/убытки инвестора определяются по формуле:

[pic]

где

. St - текущая цена единицы актива;

. Ft - текущая фьючерсная цена;

. Ts - срок продажи актива на спот-рынке;

. Ms - размер актива;

. Mf - размер фьючерсного контракта;

. Kf - число проданных фьючерсных контрактов.

Формула включает в себя базисный риск[pic] и риск, связанный с неполным

покрытием хеджированием всей стоимости актива.

Если инвестор желает хеджировать с помощью опционного контракта актив от

падения цены, ему следует купить опцион продажи или продать опцион купли.

Если наличная позиция страхуется от повышения цены, то продается опцион

продажи или покупается опцион купли. Принимая решение о хеджировании

наличной позиции с помощью той или иной опционной стратегии, в случае

альтернативных вариантов инвестор должен подсчитать затраты, связанные с

каждой стратегией и выбрать наиболее дешевую из них. При определении

стоимости хеджирования следует учитывать комиссионные за покупку-продажу

опциона и актива, а также возможность разместить полученные средства при

подписке опциона под безрисковый процент на требуемый срок, неполученный

безрисковый процент на сумму премии при покупке опциона и неполученные

дивиденды при продаже акций.

Если управляющий портфелем акций хочет хеджировать стоимость портфеля от

риска падения рынка, но надеется оставить возможность участия в прибыли при

движении рынка вверх, он может открыть длинную позицию в опционе продажи

"при деньгах" на индексный фьючерсный контракт. Если по окончании хеджа

фьючерсная цена не изменится или возрастет, то опцион истекает ничего не

стоящим и полная премия является расходом на страхование. Если же

фьючерсная цена упадет на несколько пунктов, то опцион истекает "в деньгах"

и рост опционной премии покрывает часть убытков в стоимости портфеля.

Если инвестор ожидает повышения долгосрочных банковских процентных ставок,

то для возмещения возможного снижения стоимости своего портфеля

долгосрочных государственных облигаций он может купить опционы купли на 30-

летние облигации. Напомним, что премии опционов, основанных на процентной

ставке, двигаются в одном направлении с процентными ставками, в то время

как цены базисных векселей и облигаций - в противоположном.

При покупке опционов купли, основанных на доходности, инвестиции будут

защищены от больших потерь, не исключая роста стоимости портфеля при

снижении процентных ставок. Прибыли/убытки от полного хеджирования портфеля

облигаций рассчитываются по формуле

[pic]

где St - текущая цена облигации с номинальным значением FV=100, rt -

текущая доходность к погашению.

Валютный опцион является формой страхования валютных рисков, защищающей

покупателя от риска неблагоприятного изменения обменного курса сверх

оговоренной цены исполнения опциона и дающей ему возможность получить доход

в случае, если обменный курс меняется в благоприятном для него направлении

относительно цены исполнения. Начальное развитие рынка валютных опционов

было в основном связано с потребностью валютных хеджеров в новом

инструменте управления обменным курсом. Опционы предоставили эту

возможность управления изменениями курса с правом перевода курсового риска,

когда это необходимо.

Если валютная позиция не хеджирована, то стоимость соответствующего актива

будет колебаться вместе с изменениями спот-курса. Фьючерсное хеджирование

зафиксирует твердый курс, что защитит стоимость активов от неблагоприятных

изменений обменного курса, но в то же время исключит возможность выигрыша

от благоприятных изменений обменного курса. Опционное хеджирование

зафиксирует курс и в то же время в обмен на премию оставит возможность

выигрыша от благоприятного движения курса.

Одним из способов страхования при короткой продаже акций служит покупка

опциона купли. При этом хеджируется только рост курса акций, но нет защиты

от дополнительных требований маржи. Соответственно, прибыль от короткой

продажи уменьшается на премию опциона. Прибыли/убытки от полного

хеджирования короткой продажи рассчитываются по формуле

[pic]

а максимально возможные убытки по формуле

[pic]

При хеджировании длинной позиции владельца акций покупкой опциона продажи

прибыли/убытки от полного хеджирования рассчитываются по формуле

[pic]

Лекция 8.

Расчет премии опциона методом Монте-Карло

[pic]

Основная страница

Лекция 1. Базисные финансовые расчеты.

Лекция 2. Кредит. Ценные бумаги с фиксированным доходом.

Лекция 3. Иностранная валюта.

Лекция 4. Обыкновенные акции.

Лекция 5. Финансовые фьючерсы.

Лекция 6. Опционы.

Лекция 7. Арбитраж и хеджирование.

Лекция 8. Расчет премии опциона методом Монте-Карло.

1. Модели расчета премии опциона

2. Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло

3. Оценка неизвестных параметров математической модели цены

4. Расчет премии подписчика опциона методом Монте-Карло

5. Литература

[pic]

На начало

Модели расчета премии опциона

Справедливая стоимость опциона - это обоснованный минимальный платеж

покупателя опциона подписчику, получив который подписчик опциона может,

используя хеджирующую стратегию, обеспечить гарантированным образом

опционные платежи, независимо от случайного состояния цены базисного актива

на рынке. Для краткости далее будем справедливую стоимость опциона называть

премией, также как и рыночную цену опциона.

Модель Блэка-Сколеса

При расчете теоретической премии опциона большое значение имеет, как

выбрана математическая модель цены базисного актива. Наиболее часто в

настоящее время используется модель в виде скалярного линейного СДУ с

мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности:

| |dSt = [pic]St dt +[pic]St dw(t). |(1) |

Знаменитая формула Блэка-Сколеса расчета премии стандартного опциона купли

европейского стиля, полученная для такой модели, записывается в виде

| |[pic] |(2)|

где

[pic]

Ф(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины, K -

цена исполнения опциона, S0 - цена или значение базисного актива в момент

покупки опциона, r - безрисковая процентная ставка, T - оставшийся срок до

истечения контракта.

Для моделей других типов, а также для опционов американского стиля такой

простой формулы не получено. Как видим, формула Блэка-Сколеса связывает

размер премии с шестью параметрами:

Pr = Pr(S0, K, T, r, [pic],[pic]).

Премия опциона купли европейского стиля прямо пропорциональна цене

базисного актива S0, волатильности [pic], оставшемуся сроку до истечения

контракта T, безрисковой процентной ставке r и обратно пропорциональна цене

исполнения K.

Премия опциона продажи может быть записана в аналогичном виде:

| |[pic] |(3)|

При расчете премии параметр [pic] в СДУ задается по-разному в зависимости

от типа базисного актива:

. [pic]= r для опционов на акции, не выплачивающие дивиденды;

. [pic]= r-q для опционов на акции, выплачивающие дивиденды с заданной

непрерывной ставкой q;

. [pic]= r-rf для валютного опциона, причем r - безрисковая ставка

процента в валюте торговли, rf - в базисной валюте;

. [pic]= r-q для опционов на акционные индексы, где q - осредненная

ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям

в течение срока опционного контракта;

. [pic]= 0 для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь St -

текущая фьючерсная цена;

. [pic]= r-q для облигационных опционов, где q - приведенная купонная

процентная ставка, а St - текущая цена базисной облигации.

Фактически, выбор значений параметров [pic] и [pic] является составной

частью процедуры задания будущего гипотетического поведения цены базисного

актива при расчете премии опциона.

[pic]

На начало

Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло

Основной вычислительной задачей, обычно решаемой методом Монте-Карло,

является задача оценки среднего значения некоторой случайной величины.

Применительно к расчету премии опциона купли европейского стиля метод Монте-

Карло сводится к оценке математического ожидания

| |[pic] |(4) |

В данной записи величина e-rT(ST-K)+ является дисконтированным выигрышем

держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дисконтированный

выигрыш. В формуле (4) вместо стандартного выигрыша (ST-K)+ может

использоваться любой нестандартный выигрыш F(ST,K)[pic]0.

Премия опциона купли американского стиля может быть вычислена как

| |[pic] |(5) |

а опциона продажи как

| |[pic] |(6) |

В отличие от формулы Блэка-Сколеса, при использовании метода Монте-Карло

для расчета премии опционов по формулам (4)-(6) нет жесткой привязки к

линейному СДУ с мультипликативным шумом. В качестве математической модели

цены конкретного базисного актива St может использоваться любое из

исследованных ранее СДУ, дающее оценки премии, более походящие при торговле

конкретным опционным контрактом на конкретной бирже.

Для расчета премии опционов американского стиля необходимо построить на

интервале моделирования [0,T] равномерную сетку, оценить стандартным

образом дисконтированный средний выигрыш [pic] или [pic] во всех узлах

сетки и в качестве премии принять максимальное значение сеточной функции

{Pt}. Премия опциона европейского стиля совпадает с PT, а значит, она не

может превышать премию соответствующего опциона американского стиля.

Заметим, что величина P0 совпадает с внутренней стоимостью опциона.

Принятие решения, какая модель расчета премии лучше подходит для реальной

торговли конкретными опционами на конкретной бирже, связано с большими

предварительными расчетами и сравнениями, и в основном опирается на

накопленный опыт, а не на статистические критерии проверки гипотез.

Хеджирующая стратегия

Рассуждения о справедливой стоимости опциона основываются на предположении,

что подписчик опциона за весь срок контракта будет использовать хеджирующую

стратегию, обеспечивающую ему гарантированный выигрыш или хотя бы

отсутствие проигрыша при исполнении опциона держателем. На момент

подписания в распоряжении подписчика опциона купли находится портфель из

наличных и акций, общая стоимость которого совпадает с размером полученной

премии Prcall. Подписчик наличные может положить в банк под безрисковый

процент r, а также может изменять соотношение между количеством наличных и

акций путем покупки или продажи акций. Таким образом, стоимость портфеля

подписчика изменяется во времени в соответствии с формулой

| |[pic] |(7) |

где коэффициент [pic] определяет сумму стоимостей на банковском счете на

момент времени t, а коэффициент хеджа [pic] определяет сумму в акциях. В

данном способе формирования портфеля нет ограничений на возможные значения

коэффициентов [pic] и [pic], т.е. допускается занятие в долг. Коэффициент

хеджа [pic] в формуле (7) выступает в качестве меры корреляции между

стоимостью хеджирующего портфеля и ценой базисного актива в любой момент

действия опционного контракта. Под минимальным хеджем понимается

хеджирующая стратегия, обеспечивающая гарантированные опционные платежи при

минимальной премии.

Для опциона купли европейского стиля на акции без выплаты дивидендов Блэк и

Сколес получили формулы для коэффициентов [pic] и [pic] для минимального

хеджа:

| |[pic] |(8)|

| |[pic] |(9)|

Формулы получены исходя из предположения, что в любой момент времени t

стоимость портфеля Xt совпадает со справедливой стоимостью опциона на

текущий момент времени при известной текущей стоимости базисной акции St.

Для опциона купли американского стиля стоимость минимального хеджирующего

портфеля в любой момент времени может быть определена как условное

математическое ожидание

| |[pic] |(10) |

а для опциона продажи как

| |[pic] |(11) |

Расчет коэффициентов чувствительности премии к изменениям параметров

На рынке наблюдаются постоянные изменения цены базисного актива опциона. В

результате соответственно изменяется стоимость опциона. Коэффициент

"дельта" представляет собой отношение изменения стоимости опциона,

вызванное изменением цены базисного актива, к изменению цены актива:

[pic]

Коэффициент [pic] показывает, в какой мере изменится стоимость опциона при

изменении цены базисного актива на один пункт. Теоретически, но не на

практике, стоимость опциона не может увеличиться или уменьшиться в большей

степени, чем стоимость актива, лежащего в основе контракта. Это значит, что

должны выполняться неравенства 0[pic][pic][pic]1 для опциона купли и

-1[pic][pic][pic]0 для опциона продажи. То, что для опциона продажи

коэффициент [pic] имеет отрицательное значение означает, что стоимость

опциона изменяется в противоположном направлении относительно цены

базисного актива. Опциону продажи с [pic][pic]-1 соответствует большой

выигрыш, а с [pic][pic]0 большой проигрыш. Сравнивая [pic] и коэффициент

хеджа [pic], видим, что [pic]=[pic]. Кроме коэффициента [pic] с премией

опциона связаны такие коэффициенты, как [pic], [pic], [pic] и [pic].

Заметим, что знание справедливой стоимости опциона имеет малое значение при

спекулятивных операциях с опционами. Однако при формировании хеджирующих

или арбитражных стратегий с различными опционами модели ценообразования

опционов становятся более полезными, так как позволяют сравнивать опционы

между собой по стоимости.

[pic]

На начало

Оценка неизвестных параметров математической модели цены

Исторической волатильностью называется оценка волатильности по результатам

наблюдений за ценой финансового инструмента на некотором прошедшем периоде

времени. А подразумеваемая волатильность - это волатильность цены базисного

актива, соответствующая рыночной стоимости опциона за вычетом внутренней

стоимости в рамках используемой теоретической модели расчета стоимости

опциона. Подразумеваемая волатильность не связана с текущей ценой базисного

актива. Сравнивая историческую и подразумеваемую волатильность, биржевые

торговцы делают вывод о завышенной или заниженной рыночной стоимости

опциона, что позволяет сравнивать различные опционы между собой.

Задание прогнозируемой волатильности, используемой при расчете справедливой

стоимости опциона, считается высшим искусством в ценообразовании опционов,

хотя это всего лишь один из элементов процедуры задания гипотетической

рыночной ситуации. Основой для задания прогнозируемой волатильности все же

служит оценка исторической волатильности цены базисного актива. Для СДУ (1)

оценка максимального правдоподобия исторической волатильности по данным

дискретных наблюдений за стоимостью или значением базисного актива хорошо

известна:

| |[pic] |(12)|

где

[pic]

{tn} - неравномерная сетка по времени на интервале наблюдения [0,Tdata],

Ndata - количество дискретных наблюдений {Sn} на этом интервале, hn = tn+1

- tn - интервал времени между наблюдениями Sn+1 и Sn. Оценку

параметра [pic] также несложно получить:

| |[pic] |(13) |

При оценке исторической волатильности обычно используют несколько различных

периодов наблюдения [0,Tdata], так как замечено, что оценка [pic] в модели

Блэка-Сколеса сильно зависит от объема используемых данных Ndata, т.е. от

числа дней торговли, учитываемых при оценке. Оценка [pic] разная для данных

о цене базисного актива за последний месяц, за последний квартал, за

последние полгода и т.д. Чем больший период наблюдения [0,Tdata]

используется при оценке, тем более осредненная оценка исторической

волатильности получается.

[pic]

На начало

Расчет премии подписчика опциона методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло, в отличие от аналитического "мартингального" метода,

позволяет при расчете премии опциона использовать в качестве математической

модели цены базисного актива любую линейную или нелинейную систему СДУ, а

не только скалярное линейное СДУ с мультипликативным шумом с постоянными

коэффициентами роста и волатильности, любую нестандартную функцию выплаты,

любую формулу оценки премии и любую, не обязательно хеджирующую, стратегию

формирования портфеля подписчиком опциона. Все ниже перечисленные

вычисления, связанные с опционами европейского и американского стиля, могут

быть осуществлены методом Монте-Карло:

. расчет премии опциона для заданных параметров опциона;

. определение зависимости премии опциона от изменения параметров

опциона;

. определение зависимости премии опциона от используемой математической

модели цены или значения базисного актива;

. моделирование хеджирующей стратегии и расчет коэффициента хеджа;

. расчет коэффициентов чувствительности [pic], [pic], [pic], [pic]

и [pic] для заданных параметров опциона;

. моделирование динамики премии опциона при случайных флуктуациях цены

базисного актива и безрисковой процентной ставки.

На рис.1 приведены графики зависимости премий стандартных опционов купли и

продажи европейского стиля на акции с выплатой дивидендов от оставшегося

времени до истечения контракта T, а на рис.2 - от цены исполнения K.

Выплата дивидендов в модели учитывается посредством непрерывной процентной

ставки q=10%.

[pic]

Рис.1. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от

времени до истечения контракта

Расчеты получены по формулам Блэка-Сколеса при S0=40, K=42, T=0.5,

r=25%, [pic]=15%, [pic]=33.5% с использованием простейшей квадратурной

формулы прямоугольников для вычисления интегралов. Для таких параметров

опционов получены следующие величины премий: Prcall = 4.058, Prput = 3.073.

[pic]

Рис.2. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от

цены исполнения

Согласно неравенству Чебышева, погрешность оценки премии методом Монте-

Карло убывает пропорционально [pic] , где Nsample - объем моделируемых

траекторий решения СДУ. Это значит, что при необходимости увеличения

точности расчета премии в 10 раз, объем моделируемых траекторий потребуется

увеличить в 100 раз. Например, для приведенных выше параметров опциона при

Nsample=100 получены оценки премий Prcall = 3.523, Prput = 3.185, при

Nsample = 10000 имеем Prcall = 4.138, Prput = 3.077, а при Nsample =

1000000 имеем не менее двух цифр после запятой, совпадающих с расчетом по

формулам Блэка-Сколеса: Prcall =4.058, Prput =3.070. При статистическом

моделировании значений ST использовалась точная формула

| |[pic] |(14) |

с шагом h = 0.5.

На рис.3 приведены графики дисконтированного среднего выигрыша Pt для

опционов купли и продажи американского стиля, полученные для приведенных

выше параметров опциона при объеме выборки Nsample = 100000. При

моделировании значений St использовалась формула (14) с шагом h = 0.025.

[pic]

Рис.3. Дисконтированный средний выигрыш Pt для опционов купли и продажи

американского стиля

Как видно из рисунка, максимальное значение дисконтированного среднего

выигрыша для обоих опционов достигается в конце интервала [0,T]. Это

означает, что при выбранных параметрах премии опционов купли и продажи

европейского и американского стиля совпадают и равны Prcall = 4.06, Prput =

3.07.

В реальной жизни в каждом опционном классе премию приходится рассчитывать

для целого набора цен исполнения, предлагаемых администрацией биржи перед

торгами. Для метода Монте-Карло это означает, что необходимо провести

расчеты премии последовательно для всех цен исполнения. Но так как цена

базисного актива St не зависит от цены исполнения К, то расчет премий для

разных К может осуществляться одновременно на одном и том же моделируемом

ансамбле траекторий СДУ, что значительно снижает трудоемкость алгоритма. На

рис.4 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и

европейского стиля от цены исполнения. Как видно из рисунка, премии

опционов американского и европейского стиля совпадают до тех пор, пока цена

исполнения K [pic] 44, а затем премия опциона американского стиля

постепенно начинает превышать премию опциона европейского стиля, причем

разрыв увеличивается с ростом цены исполнения. Фактически, при K>44 премия

опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью

опциона: Prput = K - S0. Расчеты проведены при объеме выборки Nsample =

100000. При статистическом моделировании значений St использовалась формула

(14) с h=0.025.

[pic]

Рис.4. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского

стиля от цены исполнения

Одним из наиболее серьезных рисков для подписчика опциона является неточная

оценка будущей волатильности цены или значения базисного актива, так как

это может привести к значительной ошибке в оценке стоимости опциона. В

связи с этим желательно знать степень зависимости премии от изменения

величины волатильности. Для получения такой зависимости методом Монте-Карло

для каждого значения [pic] приходится моделировать свой ансамбль траекторий

СДУ. На рис.5 приведены графики зависимости премии опционов продажи

американского и европейского стиля от величины волатильности. Как видно из

рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию опциона

европейского стиля, пока волатильность меньше 25%. При [pic]< 22% премия

опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью

опциона: Prput = K - S0 = 2.

[pic]

Рис.5. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского

стиля от волатильности

Большой интерес представляет чувствительность премии опциона к движениям

начальной цены базисного актива. Для метода Монте-Карло ситуация схожа с

предыдущей: для каждого значения начальной цены S0 необходимо моделировать

свой ансамбль траекторий СДУ. На рис.6 приведены графики зависимости премии

опционов продажи американского и европейского стиля от цены акции. Как

видно из рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию

опциона европейского стиля, пока цена акции менее 38. При S0<38 премия

опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью

опциона.

[pic]

Рис.6. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского

стиля от цены акции

Все предыдущие расчеты были связаны с линейной непрерывной моделью цены

базисного актива (1). Оценим премию опциона купли американского стиля,

основываясь на дискретной модели цены базисного актива

[pic]

при [pic]=0.5 и [pic]=199.4%. Дисконтирование выигрыша держателя опциона

выполним для простой процентной ставки:

[pic]

На рис.7 приведены графики зависимости премии опциона купли американского

стиля от цены исполнения, вычисленные по линейной непрерывной и нелинейной

дискретной модели цены базисного актива. Решение о том, какая из этих двух

моделей лучше соответствует реальным данным, принимается в каждом

конкретном случае.

[pic]

Рис.7. Премия опциона купли американского стиля для непрерывной и

нелинейной дискретной модели

Страницы: 1, 2, 3