Построение математических моделей

Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.

Степенная модель множественной регрессии имеет вид:

В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.

Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.

Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.

5.  РАССЧИТАЕМ:

коэффициент множественной корреляции:

Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.

Таблица 13

Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии

коэффициент детерминации:

71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2, числе степеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.

Так как Fрасч. = 8,592 > Fтабл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.

среднюю относительную ошибку аппроксимации

В среднем в степенной модели расчетные значения отличаются от фактических на 3,42 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.

6.  СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (табл. 14)

Таблица 14

В целом модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но лучшей считается степенная модель, т.к значение коэффициента корреляции, индекса детерминации, F – критерия Фишера немного больше, а средняя относительная ошибка аппроксимации немного меньше, чем у линейной модели.

7.  НАЙДЕМ ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ И β – КОЭФФИЦИЕНТЫ

Для нахождения частных коэффициентов эластичности составим частные уравнения регрессии, т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии на среднем уровне.

    и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 15.

Таблица 15

Вспомогательная таблица для вычисления частных коэффициентов эластичности

Бета коэффициент рассчитываем по формуле:

 - среднее квадратическое отклонение.

Необходимые вычисления для расчета СКО представлены в таблице 9.

Если объем капиталовложений увеличить на величину своего СКО, т.е. 0,147 млн. руб., то выручка предприятия увеличится на 1,302 величины своего СКО, т.е. на 1,302 * 0,262 = 0,341 млн. руб.

Если основные производственные фонды увеличить на величину своего СКО, т.е. на 0,239 млн. руб., то выручка предприятия уменьшится на 1,068 своего СКО, т.е. на 1,068 * 0,262 = 0,280 млн. руб.

8.  ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у (выручка), в зависимости от х1 (объема капиталовложений) и х2 (основных производственных фондов).

Прогнозные значения факторов можно получить, используя метод прогнозирования с помощью среднего абсолютного прироста:

,

где  - средний абсолютный прирост, рассчитываемый по формуле:

;

k – период упреждения;

n – количество наблюдений.

, тогда

Х1, 11 = 1,4 + 1 ∙ 0,0333 = 1,4333 (млн.руб.)

Х1, 12 = 1,4 + 2 ∙ 0,0333 = 1,4667(млн.руб.)

Х2, 11 = 0,5 + 1 ∙ 0,0111 = 0,5111

Х2, 12 = 0,5 + 2 ∙0,0111 = 0,5222

Составляем вектор прогнозных значений факторов:

       .

Вычислим точечные прогнозы поведения выручки предприятия на моменты времени t = 11 и t = 12. Для этого подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии.

 (млн. руб.)

 (млн. руб.)

Для получения интервального прогноза  рассчитываем доверительные интервалы, используя величину отклонения от линии регрессии (U):

,

Операции с матрицами осуществим в среде Excel с помощью встроенных математических функций МУНОЖ и МОБР.

Среднее квадратическое отклонение расчетных значений от фактических:

Коэффициент Стьюдента tα для m = 10 – 2 – 1 = 7 степеней свободы и уровня значимости α = 0,05 равен 2,36.

U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0,61610,5 = 0,329

U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0.74810,5 = 0,362

Результаты вычислений представим в виде таблицы.

Таблица 16

Список литературы:

1.  Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Инфра – М, 2001. – 402 с.

2.  Катышев П. К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999. – 72 с.

3.  Практикум по эконометрике: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.

4.  Тутыгин А.Г., Амбросевич М.А., Третьяков В.И. Эконометрика. Краткий курс лекций. Учебное пособие. – М.-Архангельск, Издательский дом «Юпитер», 2004. – 54 с.

5.  Эконометрика: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. –245 с.