Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Числовая ось при этом разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности:

наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее – в большую сторону до «хороших» чисел хmin и хmax;

выбирается количество групп k, удовлетворяющее неравенству; иногда оно определяется по формуле k=[5lg n]. Если объем выборки n=100, то k=10;

находится шаг по формуле:

где R = хmax - хmin – длина промежутка, в котором содержатся статистические данные;

определяются границы частичных интервалов:

а0 = хmin, а1 = а0 + h, a2 = a1 + h, … , ak = ak-1 + h = хmax;

в каждом интервале вычисляются средние значения

;

для каждого интервала [ai-1,ai], i = 1,2, …,k находятся:

– частоты ni, т.е. число выборочных значений, попавших в интервал;

– относительные частоты ;

– накопленные частоты wi = n1 + n2 + … + ni;

– накопленные относительные частоты .

Для выборочной совокупности (таблица 2) результаты группировки представим в таблице 4. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:

А22 = 100, В22 = 120, С22 = 70, D22 = B22 – C22, E22 = 10, F22 = D22/E22.

В ячейках А24:H24 укажем заголовки будущей таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить соответствующими формулами, представленными выше, для определения границ интервалов. Колонку D заполним по формуле: D30 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.

Таблица 4 – Группировка статистических данных

	A	B	C	D	E	F	G	H
	n	Xmax	Xmin	R	k	h
22	100	120	70	50	10	5
23
24	Группа	Левая граница	Правая граница	Середина	Частота	Относ. частота	Накоп. частота	Накоп. относ. частота
25	1	70	75	72,5	0	0	0	0
26	2	75	80	77,5	1	0,01	1	0,01
27	3	80	85	82,5	4	0,04	5	0,05
28	4	85	90	87,5	16	0,16	21	0,21
29	5	90	95	92,5	18	0,18	39	0,39
30	6	95	100	97,5	24	0,24	63	0,63
31	7	100	105	102,5	16	0,16	79	0,79
32	8	105	110	107,5	11	0,11	90	0,9
33	9	110	115	112,5	7	0,07	97	0,97
34	10	115	120	117,5	3	0,03	100	1

Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:J10; C25:C34)}

Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.

Колонку F заполним с помощью формулы:

F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34

Колонку G заполним с помощью формулы:

G25 = E25, G26 = G25 + E26, с последующим копированием в ячейки G32:G39

Колонку H заполним с помощью формулы:

H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34

Данные, собранные в таблице 4 наглядно представим с помощью:

полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 1).

Рисунок 1 – Полигон частот

кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 2).

Рисунок 2 – Кумулята частот

1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как экспоненциальное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.

Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно гамма-распределение.

Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 5).

Определим параметры экспоненциального (λ), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение) и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:

, ,

B5 = 1/A2;

B8 = A2;

B9 = B2;

B12 = (A2/B2)^2;

B13 = B2^2/A2.

Таблица 5 – Значения плотностей распределения

	A	B	C	D	E
1	Матем. ожидание	Ср. кв. отклон.
2	98,68	8,767340682
3
4	Параметры экспоненциального распределения
5	λ	0,0101
6
7	Параметры нормального распределения
8	m	98,6800
9	σ	8,767340682
10
11	Параметры гамма-распределения
12	α	126,6842
13	β	0,7789
14
15	Середина	Плотность относит. частот	Плотность экспоненц. распред.	Плотность нормал. распред.	Плотность гамма- распред.
16	72,5000	0	0,0049	0,0005	0,0003
17	77,5000	0,002	0,0046	0,0025	0,0019
18	82,5000	0,008	0,0044	0,0083	0,0080
19	87,5000	0,032	0,0042	0,0202	0,0213
20	92,5000	0,036	0,0040	0,0355	0,0374
21	97,5000	0,048	0,0038	0,0451	0,0456
22	102,5000	0,032	0,0036	0,0414	0,0399
23	107,5000	0,022	0,0034	0,0274	0,0259
24	112,5000	0,014	0,0032	0,0131	0,0128
25	117,5000	0,006	0,0031	0,0045	0,0049

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6